Chiarezza sui domini euclidei

[morenaria]

Ciao di nuovo!
Mi sono imbattuta in questa proposizione:



Volevo una mano a capire la dimostrazione, in particolare io ho studiato che in un dominio euclideo gli elementi invertibili sono tutti e soli quelli di grado minimo. Qui però utilizza il fatto che $s$ sia di grado minimo per dimostrare che $z$, tale che $deg(z)
Oltretutto viene fuori che $s$ è un elemento di grado minimo non invertibile. Un po' di chiarezza?

[Pappappero1]

$z$ puo' essere nullo o invertibile, perche' ha grado strettamente piu' basso di $s$. Se $x$ e' gia' divisibile per $s$ allora e' nullo, altrimenti la minimalita' del grado lo forza ad essere invertibile.

$s$ e' un elemento non invertibile e non nullo che ha grado minimo tra tutti gli elementi non invertibili e non nulli.

Esempio:
In \(R = \mathbb{Z}\) il grado e' il valore assoluto. Gli elementi di grado $1$ sono solo $\pm 1$, che sono invertibili. Quindi il grado minimo tra gli elementi non invertibili e' $2$. Prendiamo $s = 2$. La proposizione ti dice che per ogni $x$ in \(\mathbb{Z}\) esiste un elemento invertibile o nullo $z$ (quindi $z = \pm 1,0$) tale che $s$ divide $x-z$. In effetti se $x$ e' pari, scegliamo $z = 0$. Se $x$ e' dispari possiamo scegliere indifferentemente $z = \pm 1$.

Prossimo esempio:
Prendiamo \( R = \mathbb{Q}[t]\), l'anello dei polinomi su un campo. Cosa succede in questo caso?

[morenaria]

Ahhhhhh! Minimo tra i non invertibili! Ora ha tutto senso...che domanda scema che ho fatto.

Su $\mathbb{Q}[t]$ il grado è il grado dei polinomi, quindi gli invertibili sono i polinomi di grado 0 (le costanti diverse da 0).
Allora prendendo un polinomio $p(x)$ di grado 1, e un generico elemento $g(x)$ di $\mathbb{Q}[t]$, applicando la divisione euclidea ho:

$g(x)=q(x)\dot p(x) + r(x)$, con $deg(r)
Allora o $r(x)=0$, oppure è invertibile perchè è appunto una costante diversa da 0, quindi $g(x)-r(x)=q(x)\dot p(x)$, che è la nostra tesi.