Fattorizzazione di polinomi
1]Fattorizzare i seguenti elementi dell'anello $R$ in fattori irriducibili in $R$.
a] $X^2-Y^2$ con $R=QQ[X,Y]$;
b] $X^3-Y^3$ con $R=QQ[X,Y]$
2] Dimostrare,col Criterio di Eisenstein, che i polinomi $X^6+X^3+1$ , $X^5-8$ e $X^4-X^2+1$ sono irriducibili su $QQ[X]$.
In entrambi gli esercizi non so da dove cominciare e mi chiedevo se potevate farmi vedere come si fa.. almeno darmi dei consigli su come usare il criterio di Eisenstein ,e come impostare la fattorizzazione in due variabili..
Grazie mille a chiunque risponda
a] $X^2-Y^2$ con $R=QQ[X,Y]$;
b] $X^3-Y^3$ con $R=QQ[X,Y]$
2] Dimostrare,col Criterio di Eisenstein, che i polinomi $X^6+X^3+1$ , $X^5-8$ e $X^4-X^2+1$ sono irriducibili su $QQ[X]$.
In entrambi gli esercizi non so da dove cominciare e mi chiedevo se potevate farmi vedere come si fa.. almeno darmi dei consigli su come usare il criterio di Eisenstein ,e come impostare la fattorizzazione in due variabili..
Grazie mille a chiunque risponda
Risposte
"studentessa CdLmate":
2] Dimostrare,col Criterio di Eisenstein, che i polinomi $X^6+X^3+1$ , $X^5-8$ e $X^4-X^2+1$ sono irriducibili su $QQ[X]$.
In entrambi gli esercizi non so da dove cominciare e mi chiedevo se potevate farmi vedere come si fa.. almeno darmi dei consigli su come usare il criterio di Eisenstein
Al primo e al terzo polinomio non si può applicare Eisenstein, mi pare. Infatti il coefficiente direttivo $a_n$ è uguale al termine noto $a_0$ e tu dovresti trovare un numero primo che non divida $a_n$ ma che divida $a_0$.
Neanche al terzo invero si può applicare Eisenstein. Infatti l'unico primo che divide $8$ è $2$. Dovrebbe avvenire che $2^2$ non divide $8$, ciò che invece accade.
A te risulta...?
Sì, ma esistono cose chiamate "sostituzione". Ad esempio [tex](X+1)^6 + (X+1)^3 + 1 = X^6+6X^5+15X^4+21 X^3+18 X^2+9 X+3[/tex]...
Questa si vedeva ad occhio. Anche le altre si vedono, provateci!
Per quanto riguarda il primo esercizio, ti propongo un lemma, senza dimostrazione, e ti invito a provare a fare la dimostrazione. Ritengo che sia più utile che tu riesca a fare il lemma (e che poi te lo ricordi) rispetto a risolvere quell'esercizio con le mani.
Lemma. Sia [tex]K[/tex] un campo qualsiasi. Sia [tex]f(X_1,\ldots,X_n) \in K[X_1,\ldots, X_n][/tex] un polinomio omogeneo in n variabili. Provare che [tex]f[/tex] è riducibile se e solo se è riducibile [tex]f_* \in K[X_1,\ldots,X_{n-1}][/tex] definito da [tex]f_*(X_1,\ldots,X_{n-1}) := f(X_1,\ldots,X_{n-1},1)[/tex]. Esibire la fattorizzazione di [tex]f_*[/tex] in termini della fattorizzazione di [tex]f[/tex] e, viceversa, supponendo nota la fattorizzazione di [tex]f_*[/tex], esprimere la fattorizzazione di [tex]f[/tex] in termini di quella di [tex]f_*[/tex].
Questa si vedeva ad occhio. Anche le altre si vedono, provateci!
Per quanto riguarda il primo esercizio, ti propongo un lemma, senza dimostrazione, e ti invito a provare a fare la dimostrazione. Ritengo che sia più utile che tu riesca a fare il lemma (e che poi te lo ricordi) rispetto a risolvere quell'esercizio con le mani.
Lemma. Sia [tex]K[/tex] un campo qualsiasi. Sia [tex]f(X_1,\ldots,X_n) \in K[X_1,\ldots, X_n][/tex] un polinomio omogeneo in n variabili. Provare che [tex]f[/tex] è riducibile se e solo se è riducibile [tex]f_* \in K[X_1,\ldots,X_{n-1}][/tex] definito da [tex]f_*(X_1,\ldots,X_{n-1}) := f(X_1,\ldots,X_{n-1},1)[/tex]. Esibire la fattorizzazione di [tex]f_*[/tex] in termini della fattorizzazione di [tex]f[/tex] e, viceversa, supponendo nota la fattorizzazione di [tex]f_*[/tex], esprimere la fattorizzazione di [tex]f[/tex] in termini di quella di [tex]f_*[/tex].
"maurer":
Sì, ma esistono cose chiamate "sostituzione". Ad esempio [tex](X+1)^6 + (X+1)^3 + 1 = X^6+6X^5+15X^4+21 X^3+18 X^2+9 X+3[/tex]...
Questa si vedeva ad occhio. Anche le altre si vedono, provateci!
Ti ringrazio, non ci avevo pensato.
Ok. E il lemma successivo lo conosci? Per quanto scemo, è abbastanza utile!
scusate il ritardo con cui rispondo.. comunque per il polinomio $x^6+x^3+1$ applicando la sostituzione posso applicare Eisenstein e quindi risulta irriducibile in $QQ[x]$. Però quale sostituzione posso applicare agli altri due ??
Cioè c'è un modo per dedurre quale sostituzione effettuare??
Per $x^5-8$ ho provato con $x-> x+1$ e con $x->x+2$ .Nel primo caso mi viene $x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x-7$ e nel secondo $x^5+10x^4+40x^3+80x^2+60x+4$.
Cioè c'è un modo per dedurre quale sostituzione effettuare??
Per $x^5-8$ ho provato con $x-> x+1$ e con $x->x+2$ .Nel primo caso mi viene $x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x-7$ e nel secondo $x^5+10x^4+40x^3+80x^2+60x+4$.
per quanto riguarda i polinomi $X^3-Y^3$ e $X^2-Y^2$il primo l'ho scritto come $(X-Y)(X^2+XY+Y^2)$ mentre il secondo l'ho scritto come prodotto $(X+Y)*(X-Y)$. Per dimostrare che i fattori di primo grado sono irriducibili in $QQ[X,Y]$ ho usato il criterio di Eisenstein generalizzato agli anelli di polinomi in due variabili.
Mentre il fattore di secondo grado l'ho visto come un polinomio in $X$ i cui coefficienti sono polinomi in $Y$ e poichè è irriducibile in $RR$ allora lo sarà anche in $QQ$.
Può andare bene ??
Proposizione:
Sia $f(x,y) in k[x,y]$ scritto come un polinomio in $x$ i cui coefficienti sono polinomi in $y$: $f(x,y)=a_n(y)x^n+...+a_1(y)x+a_0(y)$
Se
1) $y$ NON divide $a_n(y)$
2) $y$ divide $a_(n-1)(y),...,a_0(y)$
3) $y^2$ NON divide $a_0(y)$
Allora $f(x,y)$ è irriducibile nell'anello $k(y)[x]$
Mentre il fattore di secondo grado l'ho visto come un polinomio in $X$ i cui coefficienti sono polinomi in $Y$ e poichè è irriducibile in $RR$ allora lo sarà anche in $QQ$.
Può andare bene ??
Proposizione:
Sia $f(x,y) in k[x,y]$ scritto come un polinomio in $x$ i cui coefficienti sono polinomi in $y$: $f(x,y)=a_n(y)x^n+...+a_1(y)x+a_0(y)$
Se
1) $y$ NON divide $a_n(y)$
2) $y$ divide $a_(n-1)(y),...,a_0(y)$
3) $y^2$ NON divide $a_0(y)$
Allora $f(x,y)$ è irriducibile nell'anello $k(y)[x]$
"maurer":
Lemma. Sia [tex]K[/tex] un campo qualsiasi. Sia [tex]f(X_1,\ldots,X_n) \in K[X_1,\ldots, X_n][/tex] un polinomio omogeneo in n variabili. Provare che [tex]f[/tex] è riducibile se e solo se è riducibile [tex]f_* \in K[X_1,\ldots,X_{n-1}][/tex] definito da [tex]f_*(X_1,\ldots,X_{n-1}) := f(X_1,\ldots,X_{n-1},1)[/tex]. Esibire la fattorizzazione di [tex]f_*[/tex] in termini della fattorizzazione di [tex]f[/tex] e, viceversa, supponendo nota la fattorizzazione di [tex]f_*[/tex], esprimere la fattorizzazione di [tex]f[/tex] in termini di quella di [tex]f_*[/tex].
Vale soltanto con $K$ campo? Su $\mathbb{Z}$ non ce l'abbiamo? Dove posso trovare una dimostrazione?
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