Tre punti ed angoli uguali (SNS 69-70, 2)
Nel piano sono dati tre punti non allineati $A, B, C$, e la retta $r$ perpendicolare in A al segmento AB. Determinare gli eventuali punti X della retta r tali che: $A hatXB=B hatXC$
Questo problema è già stato discusso nel nostro forum ma direi che allora non si è percorsa la via migliore e quindi lo ripropongo.
Questo problema è già stato discusso nel nostro forum ma direi che allora non si è percorsa la via migliore e quindi lo ripropongo.
Risposte
Sia $X$ un punto della retta $r$ che soddisfa. Allora $B$ appartiene alla bisettrice di $AXC$. Quindi tracciando la distanza da $B$ alla retta $CX$ e chiamando il punto di incontro $C'$ si ha $AB=BC'$. Tracciando la circonferenza di raggio $AB$ e centro $B$ si ha che questa passa anche per $C'$ ed ha come tangente la retta $CX$. Quindi ho dimostrato che se esiste $X$ allora deve stare necessariamente sulla tangente per $C$ alla circonferenza di raggio $AB$ e centro $B$.
Ciò è anche sufficiente perchè mandando da $C$ la tangente a tale circonferenza si ha che i triangoli $AXB$ e $XBC'$ sono isometrici con l'angolo $AXB = BXC'$.
Ora questi punti $X$ possono essere 1,2 o 0 a seconda delle posizioni di $C$.
Se $AB$ è maggiore di $CB$ non esiste $X$ perchè chiaramente non è possibile mandare la tangente da $C$ alla circonferenza. Altrimenti, se una delle due tangenti mandate da $C$ è parallela a $AX$, oppure $C$ si trova proprio sulla circonferenza, esiste un solo punto $X$. In tutti gli altri casi ne esistono 2.
Ciò è anche sufficiente perchè mandando da $C$ la tangente a tale circonferenza si ha che i triangoli $AXB$ e $XBC'$ sono isometrici con l'angolo $AXB = BXC'$.
Ora questi punti $X$ possono essere 1,2 o 0 a seconda delle posizioni di $C$.
Se $AB$ è maggiore di $CB$ non esiste $X$ perchè chiaramente non è possibile mandare la tangente da $C$ alla circonferenza. Altrimenti, se una delle due tangenti mandate da $C$ è parallela a $AX$, oppure $C$ si trova proprio sulla circonferenza, esiste un solo punto $X$. In tutti gli altri casi ne esistono 2.
Bravissimo! Resta solo da esaminare il caso in cui $C$ sia dalla stessa parte di $A$ rispetto ad $XB$. La mia conclusione è che se $C$ sta su $r$ ci sono infinite soluzioni (tutti i punti di $r$ non appartenenti al segmento $AC$); inoltre non ci sono soluzioni se $C$ è nel semipiano delimitato da $r$ e non contenente $B$.
Una cosa però suscita la mia perplessità: a cosa serve l'ipotesi che i punti non siano allineati? Di solito non si danno ipotesi superflue.
Una cosa però suscita la mia perplessità: a cosa serve l'ipotesi che i punti non siano allineati? Di solito non si danno ipotesi superflue.
Hai ragione mi ero scordato un bel po' di casi 
Comunque boh, in effetti se sono allineati non dovrebbe cambiare niente.
Comunque boh, in effetti se sono allineati non dovrebbe cambiare niente.
"xXStephXx":
Hai ragione mi ero scordato un bel po' di casi
In compenso io non avevo considerato il caso in cui una tangente è parallela ad $r$, mentre tu ci hai pensato.
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