Chi si mette in gioco ?
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, il perimetro e l'altezza CH misurano rispettivamente 3a ed a .
Calcolare la misura di ciascuno dei lati di ABC per via aritmetica, senza l'ausilio dell'algebra ( ovvero senza introdurre incognite e quindi senza risolvere equazioni).
N.B. Soluzioni difformi dalla consegna saranno inesorabilmente...cestinate !
Risposte
Allora la mia sarà cestinata e non mi metto neppure a scriverla, ho dovuto utilizzare un'equazione di primo grado.
Anche potendo non cestinerei mai niente ...Sono altri che oscurano !
P.S. Il problema può essere risolto senza equazioni tenendo presente che si conosce il semiperimetro del triangolo e prolungando opportunamente (dalla parte di B ) la semibase HB...
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P.S. Il problema può essere risolto senza equazioni tenendo presente che si conosce il semiperimetro del triangolo e prolungando opportunamente (dalla parte di B ) la semibase HB...
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Prolungando la base dalla parte di $B$ fino al punto $C'$ tale che $C'B=BA$ si ha $HC'=3/2 a$. Quindi col teorema di pitagora si ricava $AC'=sqrt(13)/2 a$ e il triangolo $ABC'$ è isoscele. Quindi mando l'altezza dal vertice $B$ e chiamo $H'$ il suo piede su $AC$. Ora ho che $H'C'= sqrt(13)/4 a$ visto che è anche mediana.
I triangoli $AHC'$ e $BC'H'$ sono simili, e hanno come rapporto $sqrt(13)/6$. Sfruttando ciò mi ricavo che $BC'=13/12a=AB$.
E il resto si ricava da sè..
Ora un po' di domande... In questo caso valeva la pena? Cioè alla fine.. secondo me conviene fare soluzioni puramente geometriche solo quando le alternative richiedono più tempo, oppure sono troppo contose, oppure sono troppo brutte... (Tipo nell'altro problema dove imboccando la via analitica venivano una marea di conti..) E' prorpio il fatto che si impiega meno tempo a rendere bella una soluzione puramente geometrica..
E poi altra domanda: cosa cambia tra formule inverse ed equazioni? In teoria potrei anche risolvermi un'equazione mettendo in evidenza l'incognita e spacciartela per formula inversa senza mostrarti l'incognita no? Che poi di fatto è quello che ho fatto con la similitudine e con pitagora, solo che quei casi sono talmente noti che nessuno si scandalizza se non vede l'equazione di fondo.
I triangoli $AHC'$ e $BC'H'$ sono simili, e hanno come rapporto $sqrt(13)/6$. Sfruttando ciò mi ricavo che $BC'=13/12a=AB$.
E il resto si ricava da sè..
Ora un po' di domande... In questo caso valeva la pena?
Cioè alla fine.. secondo me conviene fare soluzioni puramente geometriche solo quando le alternative richiedono più tempo, oppure sono troppo contose, oppure sono troppo brutte... (Tipo nell'altro problema dove imboccando la via analitica venivano una marea di conti..) E' prorpio il fatto che si impiega meno tempo a rendere bella una soluzione puramente geometrica..E poi altra domanda: cosa cambia tra formule inverse ed equazioni? In teoria potrei anche risolvermi un'equazione mettendo in evidenza l'incognita e spacciartela per formula inversa senza mostrarti l'incognita no?
Che poi di fatto è quello che ho fatto con la similitudine e con pitagora, solo che quei casi sono talmente noti che nessuno si scandalizza se non vede l'equazione di fondo.
Bene Steph, è quello che chiedevo 
. Devo però aggiungere che forse stai forzando troppo quando assimili una innocente formula inversa ad un'incognita mascherata...
Secondo me una certa parte del fascino della matematica ( anche a livelli superiori ) risiede nel non doversi reinventare le formule acquisite ogni volta che si risolve una questione. Per esempio se dovessi trovare l'asse di una parabola e non potessi utilizzare il fatto noto che tale retta è la polare della direzione ortogonale a quella individuata dal centro, cosa faccio ? Vado a ritroso in geometria fino alla polarità determinata da una conica nel suo piano e fino alle proprietà della parabola, riscoprendo tutto ? Oppure, se dovessi trovare un cateto di un triangolo rettangolo conoscendo che gli altri due lati misurano 3 e 5, in che direzione mi muovo ? Scrivo l'equazione (x=cateto ) \(\displaystyle x^2+3^2=5^2 \) ?
Se si chiede ad un bimbo di terza elementare di trovare un numero sapendo che moltiplicandolo per 8 risulta 40, pensate che quello si mette a scrivere l'equazione \(\displaystyle 8x=40 \) ? Ditemi che non lo pensate e che invece siete certi che quel bimbo calcolerà direttamente il numero richiesto facendo l'operazione inversa della moltiplicazione \(\displaystyle 40:8=5 \). Oppure consulterà le tabelline dell'otto...
La dizione " risolvere il problema senza mettere incognite e senza risolvere equazioni " va intesa quindi modulo le formule ed i procedimenti elementari su cui v'è già certezza. E poi c'è la soddisfazione di risolvere il più trito dei problemi in maniera non meccanica. Non so voi, ma sinceramente se devo risolvere un problema geometrico mi impongo spesso, (finché è possibile, ovviamente), di risolverlo per via sintetica. Provate a risolvere nella sezione "Pensare un po' di più" il quesito "Un particolare allineamento " per via algebrica e poi mi raccontate come è andata
. Devo però aggiungere che forse stai forzando troppo quando assimili una innocente formula inversa ad un'incognita mascherata...Secondo me una certa parte del fascino della matematica ( anche a livelli superiori ) risiede nel non doversi reinventare le formule acquisite ogni volta che si risolve una questione. Per esempio se dovessi trovare l'asse di una parabola e non potessi utilizzare il fatto noto che tale retta è la polare della direzione ortogonale a quella individuata dal centro, cosa faccio ? Vado a ritroso in geometria fino alla polarità determinata da una conica nel suo piano e fino alle proprietà della parabola, riscoprendo tutto ? Oppure, se dovessi trovare un cateto di un triangolo rettangolo conoscendo che gli altri due lati misurano 3 e 5, in che direzione mi muovo ? Scrivo l'equazione (x=cateto ) \(\displaystyle x^2+3^2=5^2 \) ?
Se si chiede ad un bimbo di terza elementare di trovare un numero sapendo che moltiplicandolo per 8 risulta 40, pensate che quello si mette a scrivere l'equazione \(\displaystyle 8x=40 \) ? Ditemi che non lo pensate e che invece siete certi che quel bimbo calcolerà direttamente il numero richiesto facendo l'operazione inversa della moltiplicazione \(\displaystyle 40:8=5 \). Oppure consulterà le tabelline dell'otto...
La dizione " risolvere il problema senza mettere incognite e senza risolvere equazioni " va intesa quindi modulo le formule ed i procedimenti elementari su cui v'è già certezza. E poi c'è la soddisfazione di risolvere il più trito dei problemi in maniera non meccanica. Non so voi, ma sinceramente se devo risolvere un problema geometrico mi impongo spesso, (finché è possibile, ovviamente), di risolverlo per via sintetica. Provate a risolvere nella sezione "Pensare un po' di più" il quesito "Un particolare allineamento " per via algebrica e poi mi raccontate come è andata
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