Progressione geometrica e principio di induzione...

[NoRe1]

Premetto che il famoso libro ('Che cos'è la Matematica') sul quale ho chiesto consigli qualche giorno fa, è per me, straordinario!
Infatti nel giro di 15 ore ( L'ho aperto per la prima volta ieri sera verso le 11 come lettura prima di dormire e l'ho ripreso un'ora fa... ) sono riuscito a capire e a provare alcune cose che per me erano completamente sconosciute!

Beh, ho cominciato dall'inizio, dal principio di induzione...

Mai nessuno me ne aveva parlato, e per me era una sorta di mistero della fede Ma non mi scoraggio!

Dopo aver studiato la spiegazione e un paio di esempi parto con un esercizio...
Non è sicuramente uno dei più difficili, anzi, ma sono pur sempre un principiante!
Naturalmente non c'è la soluzione, ed è per questo che vi chiedo aiuto!

Ecco qui la traccia:
Trovare la somma della seguente progressione geometrica:

$1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+ ... +1/(1+x^2)^n$

Un breve raccontino sul mio metodo di risoluzione:

Dopo un breve periodo di riflessione e un po' di scoraggiamento mi dico: beh, almeno rendiamo più semplice l'espressione... pongo quindi $1+x^2$=a

$1/(a)+1/(a)^2+ ... 1/(a)^n$

Ma ancora non basta... Beh allora proviamo a riscriverla in forma diversa

$(1+a+a^2+ ... +a^(n-1))/a^n$

Eureka Il numeratore non è altro che una progressione geometrica semplice semplice che parte da 1

sapendo che la somma di m termini di una progressione geometrica ( non faccio la dimostrazione anche di questo xD ) è $( 1-a^(m+1) )/(1-a) $ ( tenendo conto naturalmente che il primo termine è 1 )
e sapendo che nel nostro caso $m=n-1$
Il numeratore può essere allora riscritto come $( 1-a^(n))/((1-a) ) $

Quindi la nostra originaria frazione non sarà altro che :

$( 1-a^(n))/((a^n) (1-a) ) $ o meglio $( 1-(1+x^2)^(n))/(((1+x^2)^n) (1-(1+x^2)) ) $ quanto è brutta! :S

Beh, una volta trovata l'espressione desiderata non ho fatto altro che verificare se risolveva il mio problema tramite il principio di induzione, e sorpresa delle sorprese era giusto!

Date una controllatina? Grazie... L'ho postato qui, non solo per chiedere consiglio, ma anche per ringraziarvi, perchè voi mi avete trasmesso il piacere e la voglia di fare qualche cosa di diverso con la Matematica...
P.S. Non so se è la sezione giusta :S

[Zero87]

Secondo me la sezione è giusta, però c'è qualcosa ce non mi riporta nel ragionamento che fai.

Ne rifaccio uno (uguale al tuo perché avevo in mente la stessa cosa ), spoilerizzandolo.

Partiamo dalla serie geometrica
$\sum_(k=0)^(n) y^k = \frac{1-y^(n+1)}{1-y}$ e ok.
Poniamo $y=1+x^2$ e otteniamo
$\sum_(k=0)^n \frac{1}{(1+x^2)^k} = \frac{1-(1+x)^(n+1)}{1-(1+x^2)}=\frac{1-(1+x)^(n+1)}{x^2}$.

Tuttavia manca un pezzo: il termine corrispondente a $k=0$ sarebbe $\frac{1}{(1+x^2)^0}=1$ che lì non c'è. Basta che lo sottraggo al risultato:
$\frac{1-(1+x)^(n+1)}{x^2}-1=\frac{1-(1+x)^(n+1)-x^2}{x^2}$...
Esteticamente, però, non è il massimo...

[NoRe1]

che cosa in particolare?

[Zero87]

Penso che sia questo passaggio (che spoilerizzo).

Cioè parti da qui che è quello che dico anche io.

"NoRe":$( 1-a^(m+1) )/(1-a) $

Per poi arrivare qui

"NoRe":$( 1-a^(n))/((a^n) (1-a) ) $

Ovviamente non è detto che io sia nel giusto e tu nel torto, può tranquillamente essere il contrario .

Attendo pareri più autorevoli .

[giammaria2]

Il mio risultato coincide con quello di NoRe, scritto un po' meglio. Ho posto $b=1/(1+x^2)$ e la somma diventa
$b+b^2+...+b^n=b(1+b+...+b^(n-1))=b*(1-b^n)/(1-b)=$
$=1/(1+x^2)*(1-1/(1+x^2)^n)/(1-1/(1+x^2))=...=((1+x^2)^n-1)/(x^2(1+x^2)^n)$
Forse è più bello scriverlo come
$1/x^2(1-1/(1+x^2)^n)$

[NoRe1]

Sì, non so perchè, alla fine non ho semplificato, perchè è evidente... @gianmaria, cosa ne pensi dell'obiezione di Zero? perchè anche io, nella risoluzione, avevo lo stesso dubbio, ma qualcosa mi ha detto che stavo procedendo bene xD

[giammaria2]

L'obiezione di Zero87 non mi è del tutto chiara: se si dà denominatore comune (come avete fatto voi) si ottiene una progressione geometrica che parte da 1 e quindi non manca nessun termine. Se invece si usa la mia $b$ non si parte da 1, ma ho risolto la difficoltà mettendo in evidenza; avrei anche potuto fare il suo ragionamento ottenendo

$(1-b^(n+1))/(1-b)-1=(1-b^(n+1)-1+b)/(1-b)=(b(1-b^n))/(1-b)$
ed il risultato sarebbe stato lo stesso.