$n^3-n=n(n-1)(n+1)$ perché un fattore è multiplo di $3$
Salve a tutti.Chiedo scusa,qualcuno potrebbe spiegarmi perchè in $n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$ ossia nel prodotto di tre numeri consecutivi,uno dei fattori è un multiplo di 3? Con i numeri molto facilmente riesco a convincermi di ciò, ma se dovessi dare una "dimostrazione",mi troverei in difficoltà...Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Se n è multiplo di 3 il problema è risolto. Se n non è multiplo di 3 allora deve essere uno dei seguenti 4 valori :
\(\displaystyle n=3k\pm 1,n=3k\pm 2 \)
Ora con questi 4 valori è facile verificare che almeno uno dei fattori n-1 o n+1 è multiplo di 3.
Per esempio se scegliamo n=3k-1, da qui si ricava che n+1=3k che è effettivamente multiplo di 3.
Se scegliamo n=3k-2, da qui si ricava che n-1=3k-3=3(k-1) che è ancora multiplo di 3.
E così anche nei due casi rimanenti.
\(\displaystyle n=3k\pm 1,n=3k\pm 2 \)
Ora con questi 4 valori è facile verificare che almeno uno dei fattori n-1 o n+1 è multiplo di 3.
Per esempio se scegliamo n=3k-1, da qui si ricava che n+1=3k che è effettivamente multiplo di 3.
Se scegliamo n=3k-2, da qui si ricava che n-1=3k-3=3(k-1) che è ancora multiplo di 3.
E così anche nei due casi rimanenti.
Detta un po' meglio, per l'algoritmo della divisione, sai che per un qualsiasi numero naturale \(n\) esistono e sono unici due numeri \(q,r\in \mathbb{N}\) (quoziente e resto della divisione per \(3\)) tali che:
\[
n=3\ q+r\qquad \text{ e } r\in \{0,1,2\}\; .
\]
Conseguentemente, o un numero naturale è multiplo di \(3\) cioè \(n=3\ q\) (il che accade se \(r=0\)), oppure esso differisce da un multiplo di \(3\) per un'unità, cioè \(n=3\ q+1\) (accade se \(r=1\)), ovvero esso differisce da un multiplo di \(3\) di due unità, cioè \(n=3\ q+ 2\) (per \(r=2\)).
Considera adesso il prodotto \((n-1)\ n \ (n+1)\) e distingui i casi:
\[
n=3\ q+r\qquad \text{ e } r\in \{0,1,2\}\; .
\]
Conseguentemente, o un numero naturale è multiplo di \(3\) cioè \(n=3\ q\) (il che accade se \(r=0\)), oppure esso differisce da un multiplo di \(3\) per un'unità, cioè \(n=3\ q+1\) (accade se \(r=1\)), ovvero esso differisce da un multiplo di \(3\) di due unità, cioè \(n=3\ q+ 2\) (per \(r=2\)).
Considera adesso il prodotto \((n-1)\ n \ (n+1)\) e distingui i casi:
- [*:1np87w03] se \( n=3\ q\): in tal caso \(n-1=3\ q -1\) ed \(n+1=3q+1\) non sono multipli di \(3\), ma \(n\) lo è;
[/*:m:1np87w03]
[*:1np87w03] se \(n=3\ q+1\): in tal caso \(n-1=3\ q\) e \(n+1=3\ q+2\); quindi \(n-1\) è multiplo di \(3\) mentre \(n,\ n+1\) non lo sono;
[/*:m:1np87w03]
[*:1np87w03] se \(n=3\ q +2\): in tal caso \(n-1=3\ q+1\) e \(n+1=3\ q+3=3\ (q+1)\); quindi \(n+1\) è multiplo di \(3\), mentre \(n-1,\ n\) non lo sono.[/*:m:1np87w03][/list:u:1np87w03]
Ora, hai esaurito tutti i casi possibili; ed in ogni caso hai dimostrato che, per ogni \(n\), c'è sempre un unico fattore del prodotto \((n-1)\ n\ (n+1)\) che è multiplo di \(3\).
Salve!Grazie mille ad entrambi per la vostra disponibilità.Saluti
"Detta un po' meglio"... Sto ancora ridendo 
"ciromario":
"Detta un po' meglio"... Sto ancora ridendo
Gugo si esprime meglio, tutto qui.
ciromario, direi che nel tuo intervento sei stato sovrabbondante:
Infatti $3k+1$ è equivalente a $3k-2$ e $3k+2$ è equivalente a $3k-1$.
"ciromario":Non bastava dire che c'erano due possbilità? Cioè $n=3k+1$ e $n=3k+2$?
Se n è multiplo di 3 il problema è risolto. Se n non è multiplo di 3 allora deve essere uno dei seguenti 4 valori :
\(\displaystyle n=3k\pm 1,n=3k\pm 2 \)
Ora con questi 4 valori ...
Infatti $3k+1$ è equivalente a $3k-2$ e $3k+2$ è equivalente a $3k-1$.
Alla fine... salvo il fatto che $3k \pm 1$ e $3k \pm 2$ sono la stessa cosa... non mi sembra male quella di ciro.
Mi sono basato sul fatto che il resto della divisione per 3 può assumere solo i valori 0,1,2. Ringrazio comunque per l'osservazione fatta: mi stimola a far meglio la prossima volta ...
[OT]
Come mai questa forte sensazione di dejà vu,davanti a certe "conversazioni"?
Forse i capelli,quando le radici si fanno bianche,toccano la zona dell'ipotalamo destinata a non manifestare i propri dubbi..
[/OT]
Questo quesito era tra quelli a risposta "open" nella prova Invalsi per il biennio delle Superiori dell'anno scorso,
e quando l'ho letta dopo aver comminato i test mi son detto curioso con la codocente teorica su quali sarebbero state le risposte ad un livello di scolarizzazione che,non prevedendo il principio d'induzione tra le conoscenze degli allievi
(che avrebbe reso la dimostrazione tanto immediata quanto "meccanica"..),
costringeva a ragionare come han fatto Gugo e "Ciro"(scuola matematica partenopea per entrambi?);
lascio alla fantasia d'eventuali lettori le frequenze assolute e relative inerenti a quanti abbiano almeno approcciato il quesito
(per non dire delle risposte che abbiamo potuto considerare corrette in sede di valutazione..),
ed anche l'aneddoto sullo sguardo tra l'ironico ed il materno della collega quando mi son detto sicuro che in tante risposte avremmo trovato l'osservazione della divisibilità per $6$,$AAn in NN$,di $n^3-n$:
ma vorrei chiedere confronto in merito a chi avesse vissuto questa esperienza lo scorso anno scolastico.
Saluti dal web.
Come mai questa forte sensazione di dejà vu,davanti a certe "conversazioni"?
Forse i capelli,quando le radici si fanno bianche,toccano la zona dell'ipotalamo destinata a non manifestare i propri dubbi..
[/OT]
Questo quesito era tra quelli a risposta "open" nella prova Invalsi per il biennio delle Superiori dell'anno scorso,
e quando l'ho letta dopo aver comminato i test mi son detto curioso con la codocente teorica su quali sarebbero state le risposte ad un livello di scolarizzazione che,non prevedendo il principio d'induzione tra le conoscenze degli allievi
(che avrebbe reso la dimostrazione tanto immediata quanto "meccanica"..),
costringeva a ragionare come han fatto Gugo e "Ciro"(scuola matematica partenopea per entrambi?);
lascio alla fantasia d'eventuali lettori le frequenze assolute e relative inerenti a quanti abbiano almeno approcciato il quesito
(per non dire delle risposte che abbiamo potuto considerare corrette in sede di valutazione..),
ed anche l'aneddoto sullo sguardo tra l'ironico ed il materno della collega quando mi son detto sicuro che in tante risposte avremmo trovato l'osservazione della divisibilità per $6$,$AAn in NN$,di $n^3-n$:
ma vorrei chiedere confronto in merito a chi avesse vissuto questa esperienza lo scorso anno scolastico.
Saluti dal web.
Dal momento che c'erano potevano pure chiedere di dimostrare che il prodotto di tre naturali consecutivi è sempre divisibile per 6...Oppure che \(\displaystyle n^5-n \) è divisibile per 30 e che \(\displaystyle 42| n^7-n \)
Infatti, ai miei studenti di prima ho messo nel compito di dimostrare che $n^3-n$ è divisibile per 6 e che $n^5-n$ è divisibile per 30. Il primo lo hanno risolto in molti, il secondo solo un paio si possono considerare sostanzialmente corretti.
Provo che \(30|n^5-n\), tanto per fare pratica (esercizi del genere mi hanno sempre dato fastidio)... Poi quasi quasi lo riciclo.
"gugo82":
Anche per questo questi giochetti qui mi hanno sempre annoiato: distinguere casi lo trovo insopportabile...
D'altra parte, volendo far dimostrare qualcosa di algebra agli studenti del biennio, non ci sono molte altre possibilità.
Come dice Theras nel suo immaginifico linguaggio ( ) , esiste anche il metodo dell'induzione ( che mi pare venga insegnato nel biennio delle Superiori ) .
Essendo: \(\displaystyle n^5-n=[(n(n-1)(n+1)](n^2+1) \), si può già affermare che \(\displaystyle 6|(n^5-n) \)
Resta da dimostrare che quella espressione è divisibile pure per 5. Procediamo per induzione. Per n=1 la cosa è evidentemente vera ( lo zero è divisibile per qualsiasi intero). Supponiamo allora vera la cosa per un n generico e dimostriamola vera per n+1. Si ha l'identità:
\(\displaystyle (n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5(n^4+2n^3+2n^2+n) \)
Ora entrambi gli addendi della somma a secondo membro sono divisibili per 5 : il primo addendo per l'ipotesi induttiva, il secondo perché contiene il fattore 5. Pertanto è divisibile per 5 anche il primo membro.
L'induzione è completa ed il " teorema " è provato.
Stesso procedimento per provare che \(\displaystyle 42|(n^7-n) \)
) , esiste anche il metodo dell'induzione ( che mi pare venga insegnato nel biennio delle Superiori ) .Essendo: \(\displaystyle n^5-n=[(n(n-1)(n+1)](n^2+1) \), si può già affermare che \(\displaystyle 6|(n^5-n) \)
Resta da dimostrare che quella espressione è divisibile pure per 5. Procediamo per induzione. Per n=1 la cosa è evidentemente vera ( lo zero è divisibile per qualsiasi intero). Supponiamo allora vera la cosa per un n generico e dimostriamola vera per n+1. Si ha l'identità:
\(\displaystyle (n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5(n^4+2n^3+2n^2+n) \)
Ora entrambi gli addendi della somma a secondo membro sono divisibili per 5 : il primo addendo per l'ipotesi induttiva, il secondo perché contiene il fattore 5. Pertanto è divisibile per 5 anche il primo membro.
L'induzione è completa ed il " teorema " è provato.
Stesso procedimento per provare che \(\displaystyle 42|(n^7-n) \)
"ciromario":
Come dice Theras nel suo immaginifico linguaggio (
Ho inserito nel programma di terza il metodo di induzione, mentre l'esercizio incriminato in un compito di prima. È un'ottima idea quella di risolverlo per induzione, cosa che provvederò sicuramente di fare in futuro: mi piace molto risolvere lo stesso esercizio con metodi diversi a seconda delle competenze dei miei studenti.
[OT]
Però tu lo capisci bene:
l'intelligenza che t'appartiene,certo,
dato che in poche settimane di tua(personalmente gradita,che tu ci creda o no..)presenza in questo Forum sembra che tu ci abbia a che fare da mesi ..con quel linguaggio,ovvio 
!
[/OT].
Saluti dal web.
"ciromario":
Come dice Theras nel suo immaginifico linguaggio (
Però tu lo capisci bene:
l'intelligenza che t'appartiene,certo,
dato che in poche settimane di tua(personalmente gradita,che tu ci creda o no..)presenza in questo Forum sembra che tu ci abbia a che fare da mesi
..con quel linguaggio,ovvio ![/OT].
Saluti dal web.
Non so se ho capito bene la risposta di Theras, nel dubbio riporto quanto segue :
A) Gentilissimo Theras, che tu ci creda o no, quel "immaginifico linguaggio" è un complimento e non altro
B) Basta leggerti una sola volta per poter parlare di "immaginifico linguaggio" !
C) Per tutto il resto ho l'impressione che tu stia scoprendo l'acqua calda. Quello che tu pensi di aver capito l'hanno capito tutti sul Forum ! Di questi tutti, una certa parte finiranno ( da qui a 200 anni ) sulla seconda cornice del Purgatorio !!
A) Gentilissimo Theras, che tu ci creda o no, quel "immaginifico linguaggio" è un complimento e non altro
B) Basta leggerti una sola volta per poter parlare di "immaginifico linguaggio" !
C) Per tutto il resto ho l'impressione che tu stia scoprendo l'acqua calda. Quello che tu pensi di aver capito l'hanno capito tutti sul Forum !
Di questi tutti, una certa parte finiranno ( da qui a 200 anni ) sulla seconda cornice del Purgatorio !!
"ciromario":
Per tutto il resto ho l'impressione che tu stia scoprendo l'acqua calda. Quello che tu pensi di aver capito l'hanno capito tutti sul Forum !
OT.
Mah, non credo che siano invidiosi...
@ciromario (post sotto a questo)
Avevo in mente una cosa e ne ho scritto un'altra. Grazie per la precisazione!
@Zero87
Se leggi con attenzione capirai che parlo di una certa parte di tutti gli altri, non di Theras.
Quanta pazienza !
Se leggi con attenzione capirai che parlo di una certa parte di tutti gli altri, non di Theras.
Quanta pazienza !
Forse ho capito solo ora cosa significava: "ancora tu, ma non dovevamo vederci più" 
no scherzo..
no scherzo..
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