SNS 1969-70, n.3 (spezzata)
Ecco un'altra costruzione facile e quindi adatta a chi sta iniziando. Questo esercizio è già stato svolto nel forum, ma non come costruzione geometrica.
3) In un piano sono dati una retta r e due punti L, M fuori di essa. Inoltre e`assegnata una lunghezza a. Determinare sulla retta r due punti H, K tali che il segmento HK abbia lunghezza a e sia minima la lunghezza della spezzata LHKM.
Consiglio di considerare prima il caso in cui L, M sono in semipiani diversi.
3) In un piano sono dati una retta r e due punti L, M fuori di essa. Inoltre e`assegnata una lunghezza a. Determinare sulla retta r due punti H, K tali che il segmento HK abbia lunghezza a e sia minima la lunghezza della spezzata LHKM.
Consiglio di considerare prima il caso in cui L, M sono in semipiani diversi.
Risposte
Aiutino da casa? 
Per ora solo un aiutino piccolo piccolo: la linea più breve che congiunge due punti è la retta.
"giammaria":
Per ora solo un aiutino piccolo piccolo: la linea più breve che congiunge due punti è la retta.
l'avevo già pensato,:O
Vedrò di far meglio oggi pome a mente fresca
Praticamente non trovo spunti per cominciare...
Qualcosa mi suggeriva di prendere i punti HK in maniera tale che l'asse del segmento HK passasse per il punto medio del segmento LM, ma non sono riuscito a dimostrare che questa costruzione era la cotruzione richiesta
Qualcosa mi suggeriva di prendere i punti HK in maniera tale che l'asse del segmento HK passasse per il punto medio del segmento LM, ma non sono riuscito a dimostrare che questa costruzione era la cotruzione richiesta
Acqua, acqua! Ma l'indizio di oggi te l'ho già dato; se necessario, chiedine un altro domani.
"giammaria":
Acqua, acqua! Ma l'indizio di oggi te l'ho già dato; se necessario, chiedine un altro domani.
Questa mi è piaciuta, ogni giorno un consiglio!
Ricordati che diverse ore del mio sonno peseranno sulla tua coscienza!
A scarico della mia coscienza, oggi ti do ben due indizi: i lati opposti di un parallelogramma sono uguali e la somma è commutativa ed associativa. Ribadisco il consiglio iniziale: considera L, M in semipiani diversi.
Naturalmente gli indizi si riferiscono alla mia soluzione; non posso escludere che ce ne siano altre, raggiungibili con altre strade.
Naturalmente gli indizi si riferiscono alla mia soluzione; non posso escludere che ce ne siano altre, raggiungibili con altre strade.
"giammaria":
A scarico della mia coscienza, oggi ti do ben due indizi: i lati opposti di un parallelogramma sono uguali e la somma è commutativa ed associativa. Ribadisco il consiglio iniziale: considera L, M in semipiani diversi.
Naturalmente gli indizi si riferiscono alla mia soluzione; non posso escludere che ce ne siano altre, raggiungibili con altre strade.
Mhmhm spero bene!
@ NoRe. Avevo promesso un indizio al giorno ma non so bene cosa aggiungere senza darti la pappa un po' troppo pronta; eventualmente lo farò domani.
Per oggi mi limito a darti qualche indicazione generale sulle costruzioni, anche se non attinenti al nostro problema: alcune di esse sono considerate così banali che non le si indica in dettaglio, limitandosi a dirne il risultato. Quelle che ora mi vengono in mente sono:
- riportare un segmento o un angolo;
- da un punto dato, tracciare la parallela o la perpendicolare ad un retta;
- tracciare l'asse di un segmento e quindi dimezzarlo;
- dividere un segmento in $n$ parti uguali;
- dimezzare un angolo tracciandone la bisettrice. Invece si è dimostrato che si può dividerlo in $n$ parti uguali solo in casi particolari, ad esempio quando $n$ è una potenza di 2 o quando vogliamo dividere per 3 un angolo retto.
Non si entra nei dettagli della costruzione anche per le conseguenze dirette di quanto precede, come disegnare un rettangolo di dimensioni date.
Se non conosci qualcuna di queste costruzioni, un facilissimo esercizio è trovarla.
Per oggi mi limito a darti qualche indicazione generale sulle costruzioni, anche se non attinenti al nostro problema: alcune di esse sono considerate così banali che non le si indica in dettaglio, limitandosi a dirne il risultato. Quelle che ora mi vengono in mente sono:
- riportare un segmento o un angolo;
- da un punto dato, tracciare la parallela o la perpendicolare ad un retta;
- tracciare l'asse di un segmento e quindi dimezzarlo;
- dividere un segmento in $n$ parti uguali;
- dimezzare un angolo tracciandone la bisettrice. Invece si è dimostrato che si può dividerlo in $n$ parti uguali solo in casi particolari, ad esempio quando $n$ è una potenza di 2 o quando vogliamo dividere per 3 un angolo retto.
Non si entra nei dettagli della costruzione anche per le conseguenze dirette di quanto precede, come disegnare un rettangolo di dimensioni date.
Se non conosci qualcuna di queste costruzioni, un facilissimo esercizio è trovarla.
P.s. La costruzione l'ho trovata solo perchè l'hai già postata tu altrove! Mi è arrivata una soffiata! 
Però ho da fare qualche domanda! Appena posso scrivo! Magari stasera perchè oggi ho altro da studiare, purtroppo.
Mi devo mettere con calma altrimenti non combino niente!
Passando alle costruzioni: Non le ho mai utilizzate, quindi provo con le proprietà
1 Che cosa si intende con riportare un segmento o angolo?
3 L'asse del segmento è semplice,( sfrutto proprietà luogo geometrico dei punti equidistanti... ecc ) compasso, per i due estremi tracciodue circonferenze di stesso raggio r... i 2 punti di intersezione individuano l'asse...
2 per tracciare la perpendicolare o la parallela sfrutterei una costruzione simile alla precedente, ma forse è troppo lunga e ne esiste una più semplice
4 dividere il segmento in n parti uguali? se n è potenza di due il problema è risolto, ma se è diverso non saprei :S
5 la bisettrice? questa costruzione mi è venuta in mente per caso: dato l'angolo, traccio una circonferenza di raggio qualsiasi r e centro nel vertice dell'angolo... Detti A e B i punti di intersezione della circonferenza con i lati dell'angolo... è ovvio che la bisettrice dell'angolo non è altro che l'asse del segmento AB...
Dividere per 3 un angolo ? Mi pare di aver letto, per caso, che qualcuno ha dimostrato che non è sempre possibile!
Per dividere in 3 angoli congruenti l'angolo retto io sfrutterei questa costruzione...
Prendo sul vertice O dell'angolo una circonferenza di raggio r... per il punto di intersezione B della circonferenza con uno dei due lati traccio una circonferenza ancora di raggio r... Chiamato A Il punto di intersezione delle due circonferenze ( in realtà sono due, ma non è questo l'importante ) il problema è risolto...L'angolo AOB è di 60 gradi... Infatti è evidente che si forma un triangolo equilatero di lato proprio r!
Ce l'abbiamo fatta!
Mi manca solo la divisione di un segmento in n parti uguali...
Stasera devo leggere meglio la tua costruzione per il problema... Grazie
Però ho da fare qualche domanda! Appena posso scrivo! Magari stasera perchè oggi ho altro da studiare, purtroppo.
Mi devo mettere con calma altrimenti non combino niente!
Passando alle costruzioni: Non le ho mai utilizzate, quindi provo con le proprietà
1 Che cosa si intende con riportare un segmento o angolo?
3 L'asse del segmento è semplice,( sfrutto proprietà luogo geometrico dei punti equidistanti... ecc ) compasso, per i due estremi tracciodue circonferenze di stesso raggio r... i 2 punti di intersezione individuano l'asse...
2 per tracciare la perpendicolare o la parallela sfrutterei una costruzione simile alla precedente, ma forse è troppo lunga e ne esiste una più semplice
4 dividere il segmento in n parti uguali? se n è potenza di due il problema è risolto, ma se è diverso non saprei :S
5 la bisettrice? questa costruzione mi è venuta in mente per caso: dato l'angolo, traccio una circonferenza di raggio qualsiasi r e centro nel vertice dell'angolo... Detti A e B i punti di intersezione della circonferenza con i lati dell'angolo... è ovvio che la bisettrice dell'angolo non è altro che l'asse del segmento AB...
Dividere per 3 un angolo ? Mi pare di aver letto, per caso, che qualcuno ha dimostrato che non è sempre possibile!
Per dividere in 3 angoli congruenti l'angolo retto io sfrutterei questa costruzione...
Prendo sul vertice O dell'angolo una circonferenza di raggio r... per il punto di intersezione B della circonferenza con uno dei due lati traccio una circonferenza ancora di raggio r... Chiamato A Il punto di intersezione delle due circonferenze ( in realtà sono due, ma non è questo l'importante ) il problema è risolto...L'angolo AOB è di 60 gradi... Infatti è evidente che si forma un triangolo equilatero di lato proprio r!
Ce l'abbiamo fatta!
Mi manca solo la divisione di un segmento in n parti uguali...
Stasera devo leggere meglio la tua costruzione per il problema... Grazie
Non ricordavo proprio di aver già postato la soluzione, ma con un problema così vecchio è possibilissimo.
Le tue costruzioni vanno bene; per le parallela si può anche fare così: sulla retta prendo due punti A, B e poi trovo una delle intersezioni fra la circonferenza di centro P (il punto dato) e raggio AB e quella di centro B e raggio AP.
Per la divisione del segmento in $n$ parti si usa il teorema di Talete.
Hai ragione nel dire che è impossibile dividere in 3 un angolo qualsiasi; rientra in quelli che non sono casi particolari.
Le tue costruzioni vanno bene; per le parallela si può anche fare così: sulla retta prendo due punti A, B e poi trovo una delle intersezioni fra la circonferenza di centro P (il punto dato) e raggio AB e quella di centro B e raggio AP.
Per la divisione del segmento in $n$ parti si usa il teorema di Talete.
Hai ragione nel dire che è impossibile dividere in 3 un angolo qualsiasi; rientra in quelli che non sono casi particolari.
"giammaria":
Non ricordavo proprio di aver già postato la soluzione, ma con un problema così vecchio è possibilissimo.
Le tue costruzioni vanno bene; per le parallela si può anche fare così: sulla retta prendo due punti A, B e poi trovo una delle intersezioni fra la circonferenza di centro P (il punto dato) e raggio AB e quella di centro B e raggio AP.
Per la divisione del segmento in $n$ parti si usa il teorema di Talete.
Hai ragione nel dire che è impossibile dividere in 3 un angolo qualsiasi; rientra in quelli che non sono casi particolari.
Avevo pensato anche io al teorema di Talete, ma niente mi è venuto in mente... ci penserò meglio allora!
P.s. sul libro che ho appena acquistato ?cos'è la matematica' ci sono ben due capitoli sulle costruzioni!
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