Il miglior punto di osservazione
Sul diametro $KN$ di un cerchio di raggio di $10$ cm si considerano i punti $L$ ed $M$ tali che $KL=2$ cm, $LM=3$ cm e $MN=15$ cm. A partire dai punti $S$ della semicirconferenza di destra si osservano gli archi situati sulla semicirconferenza di sinistra come mostrato in figura. Qual è la lunghezza di arco più grande che si può osservare? Come va preso il punto $S$ affinchè si verifichi ciò?
Risposte
Un piccolo suggerimento permetti d'aggiungerlo,più avanti,se nessuno desse risposte?
Saluti dal web.
Saluti dal web.
Anzitutto un suggerimento può essere di non usare argomenti che vanno oltre ciò che si fa al biennio, perchè secondo me si finisce solo per fare una marea di conti.
Mentre per la partenza.. per massimizzare l'arco cosa devi massimizzare?
Mentre per la partenza.. per massimizzare l'arco cosa devi massimizzare?
Beh..se chiedi a me direi l'angolo che,indicato con $C$(oppure $O$..)il centro della circonferenza,
si forma in verso antiorario tra $SC$ ed il raggio "a dx" di C perpendicolare a $KC$:
era il mio eventuale hint,d'altronde..
Saluti dal web.
si forma in verso antiorario tra $SC$ ed il raggio "a dx" di C perpendicolare a $KC$:
era il mio eventuale hint,d'altronde..
Saluti dal web.
Va bene! 
Comunque... Considera che.. gli angoli sulla stessa circonferenza che cadono sullo stesso arco sono uguali.. Se un angolo cade su quell'arco e va fuori dalla circonferenza è minore rispetto a quello sulla circonferenza.
Quindi se prendi la circonferenza passante per $L$ ed $M$ e tangente internamente alla circonferenza grande, cosa puoi dire sul punto di tangenza?
Comunque... Considera che.. gli angoli sulla stessa circonferenza che cadono sullo stesso arco sono uguali.. Se un angolo cade su quell'arco e va fuori dalla circonferenza è minore rispetto a quello sulla circonferenza.
Quindi se prendi la circonferenza passante per $L$ ed $M$ e tangente internamente alla circonferenza grande, cosa puoi dire sul punto di tangenza?
Raccogliendo il risolutivo suggerimento di Steph ho proceduto così.
Ho descritto la circonferenza \(\displaystyle \gamma' \) [vedi figura], passante per L ed M e tangente internamente alla circonferenza data. Si vede subito che il punto di contatto \(\displaystyle S_{max} \) è quello da cui si "vede"
LM sotto l'angolo maggiore ( come già indicato da Steph ) .
Si tratta ora di calcolare quest'angolo massimo.
Per il teorema delle secanti, applicato a \(\displaystyle \gamma' \) e alle secanti \(\displaystyle OL,OS_{max} \), si ha:
\(\displaystyle OL\cdot OM = OS_{max}\cdot OV\)
Ovvero:
\(\displaystyle 8\cdot 5=10\cdot OV\), da cui \(\displaystyle OV=4 \)
Ne segue che :
\(\displaystyle VS_{max} =10-4=6 \) = diametro di \(\displaystyle \gamma' \)
Pertanto: \(\displaystyle O'M=O'L=LM=3 \)
Ne viene che il triangolo \(\displaystyle O'LM \) è equilatero e dunque \(\displaystyle \widehat{LO'M} =60° \)
Conseguentemente sarà:
\(\displaystyle \widehat{LS_{max}M}=\frac{\widehat{LO'M}}{2}=30°\)
Ok, questa è praticamente identica alla mia 
In realtà la mia soluzione effettiva era indirizzata in altro modo. Ho pensato che, comunque si scegliesse S nel modo indicato, nel triangolo ROT fosse sempre verificata la relazione :
(1) \(\displaystyle RT \leq OT \)
[ cosa che visivamente è abbastanza evidente ]
E poiché in un triangolo vale la nota regola che a lato minore/maggiore corrisponde angolo minore/maggiore, deve essere:
\(\displaystyle 2\alpha\leq 90°-\alpha \)
da cui :
\(\displaystyle \alpha\leq 30°\)
Da qui ne viene che il massimo angolo di apertura è 30°. Appunto.
Il guaio è che in geometria razionale non ci si può contentare della sola " impressione visiva " !
E dunque la (1) va dimostrata, cosa che finora non mi è riuscita.
Chissà che non ci riesca qualcun'altro...
(1) \(\displaystyle RT \leq OT \)
[ cosa che visivamente è abbastanza evidente ]
E poiché in un triangolo vale la nota regola che a lato minore/maggiore corrisponde angolo minore/maggiore, deve essere:
\(\displaystyle 2\alpha\leq 90°-\alpha \)
da cui :
\(\displaystyle \alpha\leq 30°\)
Da qui ne viene che il massimo angolo di apertura è 30°. Appunto.
Il guaio è che in geometria razionale non ci si può contentare della sola " impressione visiva " !
E dunque la (1) va dimostrata, cosa che finora non mi è riuscita.
Chissà che non ci riesca qualcun'altro...
Se anche si dimostrasse la (1) di ciromario, questo dimostrerebbe solo che il massimo angolo di apertura non supera 30° e bisognerebbe ancora dimostrare che li può raggiungere. Inoltre, anche se non ho ben esaminato la questione, mi sembra ragionevole supporre che con altri valori numerici l'angolo non sarebbe 30° e non amo molto le soluzioni valide solo in casi particolari.
Ho pensato ad una piccola modifica della risposta di ciromario, che la rende indipendente da numeri e calcoli.
Detto $S$ un qualsiasi punto della circonferenza (va benone anche quello così chiamato in figura), si disegni la circonferenza circoscritta a $LMS$ e sia $V'$ la sua ulteriore intersezione con $OS$; per il teorema delle due secanti si ha $OL*OM=OS*OV'$ che, confrontata con la sua analoga, porge $OV=OV'$. Detto quindi $C$ il punto medio di $V'S$ otteniamo $OC=OO'$ ed abbiamo quindi la seguente costruzione:
- detto $S$ un punto della circonferenza, disegnare la circonferenza circoscritta a $LMS$;
- detto $C$ il punto medio fra le sue intersezioni con $OS$, disegnare la circonferenza di centro $O$ e raggio $OC$;
- detta $O'$ l'intersezione fra quest'ultima e l'asse di $LM$, prolungare $OO'$ fino alla circonferenza, ottenendo così $S_(max)$
Ho pensato ad una piccola modifica della risposta di ciromario, che la rende indipendente da numeri e calcoli.
Detto $S$ un qualsiasi punto della circonferenza (va benone anche quello così chiamato in figura), si disegni la circonferenza circoscritta a $LMS$ e sia $V'$ la sua ulteriore intersezione con $OS$; per il teorema delle due secanti si ha $OL*OM=OS*OV'$ che, confrontata con la sua analoga, porge $OV=OV'$. Detto quindi $C$ il punto medio di $V'S$ otteniamo $OC=OO'$ ed abbiamo quindi la seguente costruzione:
- detto $S$ un punto della circonferenza, disegnare la circonferenza circoscritta a $LMS$;
- detto $C$ il punto medio fra le sue intersezioni con $OS$, disegnare la circonferenza di centro $O$ e raggio $OC$;
- detta $O'$ l'intersezione fra quest'ultima e l'asse di $LM$, prolungare $OO'$ fino alla circonferenza, ottenendo così $S_(max)$
La relazione (1) vale solo nell'ambito dei dati del problema ( KL=2,ML=3). Se questi sono i valori assegnati, quale che sia la posizione di S sulla semicirconferenza di destra, è sempre \(\displaystyle RT\leq OT \) : non si tratta di casi particolari. E' assolutamente scontato che per altri valori l'angolo massimo cambi e la relazione (1) non sia sempre verificata, ma questo non attiene al nostro problema. In effetti la risposta al quesito è fortemente ( per non dire indissolubilmente) legata alle misure di KL ed LM. Dal punto di vista analitico, se si pone \(\displaystyle OK=2a, OM=a, ML=b \) [e quindi \(\displaystyle LK=a-b \)], segue che :
\(\displaystyle \tan(\alpha_{max})=\frac{2b}{\sqrt{(9a+3b)(|a-b|)}} \)
che , come si vede dipende proprio da a e b...In particolare per \(\displaystyle a=5,b=3 \) si trova \(\displaystyle \tan(\alpha_{max}) =\frac{\sqrt3}{3}->\alpha_{max}=30°\)
Quanto alla questione se quel massimo venga o meno raggiunto, elementarmente parlando, la vedo come una roba
di continuità. Se il punto S si può muovere con continuità sulla semicirconferenza, ritengo che anche \(\displaystyle \alpha \) possa variare con continuità attingendo il valore di 30°.
OT. Ma la voce [jxg] serve per allegare animazioni in GeoGebra ? Sarebbe interessante...
\(\displaystyle \tan(\alpha_{max})=\frac{2b}{\sqrt{(9a+3b)(|a-b|)}} \)
che , come si vede dipende proprio da a e b...In particolare per \(\displaystyle a=5,b=3 \) si trova \(\displaystyle \tan(\alpha_{max}) =\frac{\sqrt3}{3}->\alpha_{max}=30°\)
Quanto alla questione se quel massimo venga o meno raggiunto, elementarmente parlando, la vedo come una roba
di continuità. Se il punto S si può muovere con continuità sulla semicirconferenza, ritengo che anche \(\displaystyle \alpha \) possa variare con continuità attingendo il valore di 30°.
OT. Ma la voce [jxg] serve per allegare animazioni in GeoGebra ? Sarebbe interessante...
Concordo nel dire che in quel problema si ha quella risposta. Resto però dell'idea che, quando possibile, una risposta generale sia preferibile ad una particolare ed il mio intervento mirava proprio a generalizzare la tua risposta, rendendola slegata dalle misure di KL ed LM.
E' chiaro che lavorando con le formule non si pone il problema del raggiungimento dei 30°, ma tu stesso hai implicitamente escluso di usarle quando hai scritto di non essere riuscito a dimostrare per via elementare che $RT<=OT$.
Comunque non ti ho ancora fatto i complimenti: io arrivavo per conto mio fino al suggerimento di xXStephXx ma poi non riuscivo a proseguire.
E' chiaro che lavorando con le formule non si pone il problema del raggiungimento dei 30°, ma tu stesso hai implicitamente escluso di usarle quando hai scritto di non essere riuscito a dimostrare per via elementare che $RT<=OT$.
Comunque non ti ho ancora fatto i complimenti: io arrivavo per conto mio fino al suggerimento di xXStephXx ma poi non riuscivo a proseguire.
Buongiorno Professori!
In cerca della dovuta completezza di trattazione siete andati ad abbracciare il campo dell'Analisi Infinitesimale,mi pare:
allora mi chiedo perché non trattare il Problema anche usando dall'inizio quei mezzi
(pare a me che si presti assai il disegno di Ciro,per farlo,
ma forse solo perché coincide col mio a meno del "parametro lagrangiano" che abbiamo scelto d'usare
),
pure in considerazione del fatto che questa sezione del Forum è bazzicata da ragazzi di terza Liceo?
Proviamo a ricordarlo,questo post?
Magari lo integriamo quando s'avvicineranno gli Esami di maturità,
e le conoscenze analitiche dovrebbero essere un po' più mature..
Saluti dal web.
In cerca della dovuta completezza di trattazione siete andati ad abbracciare il campo dell'Analisi Infinitesimale,mi pare:
allora mi chiedo perché non trattare il Problema anche usando dall'inizio quei mezzi
(pare a me che si presti assai il disegno di Ciro,per farlo,
ma forse solo perché coincide col mio a meno del "parametro lagrangiano" che abbiamo scelto d'usare
),pure in considerazione del fatto che questa sezione del Forum è bazzicata da ragazzi di terza Liceo?
Proviamo a ricordarlo,questo post?
Magari lo integriamo quando s'avvicineranno gli Esami di maturità,
e le conoscenze analitiche dovrebbero essere un po' più mature..
Saluti dal web.
In realtà la soluzione analitica non mi sarebbe mai venuta in mente
Però so per certo che la tecnica di massimizzare gli angoli usando le circonferenze funziona in diversi casi.
Ad esempio c'è il classico problema dove sono presenti una retta e due punti $M$ ed $N$ fuori dalla retta sullo stesso semipiano. Si chiede di trovare il punto $S$ sulla retta che massimizza l'angolo $MSN$.
Anche qua... non saprei in quale altro modo procedere se non prendere la circonferenza passante per $M$ ed $N$ e tangente a quella retta.. E poi per discorsi analoghi si arriva al risultato con pochi conti.
Qua c'è un altro esempio in cui si presta bene.
Secondo me vale la pena ricordare questa tecnica e tentare di utilizzarla come primo strumento in casi come questi.
Però so per certo che la tecnica di massimizzare gli angoli usando le circonferenze funziona in diversi casi.
Ad esempio c'è il classico problema dove sono presenti una retta e due punti $M$ ed $N$ fuori dalla retta sullo stesso semipiano. Si chiede di trovare il punto $S$ sulla retta che massimizza l'angolo $MSN$.
Anche qua... non saprei in quale altro modo procedere se non prendere la circonferenza passante per $M$ ed $N$ e tangente a quella retta.. E poi per discorsi analoghi si arriva al risultato con pochi conti.
Qua c'è un altro esempio in cui si presta bene.
Secondo me vale la pena ricordare questa tecnica e tentare di utilizzarla come primo strumento in casi come questi.
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