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Giochi Matematici
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Scacchi
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Domande e risposte
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Sia $n\inNN$
Si dimostri, preferibilmente senza ricorrere all'aritmetica modulare, che se è vero che $2^n-1$ è un multiplo di $7$, allora $n$ è multiplo di $3$. Ecco una dimostrazione poco analitica:
Si nota che se $(2^n-1)$ è multiplo di 7, allora $(2^n)/7$ deve dare come resto 1. $2^1:7$ da come resto $2$, $2^2/7$ da come resto $4$, $2^3/7$ da come resto ...
Vi propongo un'altro esercizio.
Siano dati i seguenti polinomi a coefficienti interi.
$f(X) = x^9368033040-x^1171004130+x^2-1$
$g(x) = x^4+x^3+x^2+x$.
Si sa che $g(x) $ ha due radici reali e due complesse.
Dimostrare che $f(x) $ ha con $g(x)$ due radici complesse comuni. Mentre ha una sola radice reale comune con $f(x)$.
Suggerimento :
Tenete presente che $i^1=1 , i^2 = -1 , i^3=-i , i^4=1$
Buon divertimento.
Sia $x in ZZ , x!=0$ , $n in NN$ , $p$ un primo. $n$ della forma $n=(2p^6-12p^5+30p^4-40p^3+30p^2-12p+2)/(-2+10 p-20 p^2+20 p^3-10 p^4+2p^5)$
Mostrare che $ AA x in ZZ, x!=0 , x^n$ ha sempre resto 1 se diviso per p.
Suggerimento
Si può utilizzare il fatto che se $p$ è primo, allora , se $x in ZZ$ , $x^(p-1)$ ha sempre resto uno se diviso per $p$.
Vi propongo un giochino di stampo algebrico. Non è difficile, ne tanto banale. Dovete dimostrare questa implicazione, si può fare , penso , anche senza conoscere propriamente l'aritmetica modulare. Ci possono provare un po tutti
Giochino :
Sia $x in ZZ$ , $n in NN$ e $p$ primo.
1)Mostrare che $AA n in NN , $ il numero $x^n-x^(n+1)$ è un multiplo di $p$ se e solo se $x$ è un multiplo di $p$ oppure ...
Sia $k$ un intero positivo.
Dimostrare in quali casi $(2^2k+2^k+1)$ è un multiplo di $7$
Non so se è la sezione giusta ,o se il problema è cosi banale da essere ignorato, però è carino,quasi un giochino.
Problema (nato diciamo per caso, in verità me l'ha proposto la mia ragazza ):
E' possibile disegnare un quadrato con le rispettive diagonali (figura 1),senza staccare la penna dal foglio ,percorrendo ogni tratto una e una sola volta?
figura 1)
Si deduca, se possibile , con le condizioni richieste per lacostruzione del quadrato, se è possibile rappresentare
Vi propongo la mia ...
Vi propongo un problema davvero divertente. Il bianco muove e vince.
Secondo me questo è più facile del terzo (peccato che però non ho scritto tutto )
Sia [tex]x_1, x_2, x_3,......[/tex] la successione definita per ricorrenza come segue:
[tex]x_1 = 4[/tex]
[tex]x_{n+1} = x_1 x_2 x_3 * * * x_n + 5[/tex]
(I primi termini della succesione sono quindi [tex]x_1 = 4[/tex], [tex]x_2 = 4 + 5 = 9[/tex], [tex]x_3 = 4 * 9 + 5 = 41[/tex])
Trovare tutte le coppie {a, ...
Trovare tutte le coppie r,s di numeri reali non negativi tali che:
I) [tex]2^{r^2+s^4}+2^{r^4+s^2} = 8[/tex]
II) [tex]r + s = 2[/tex]
L’infido Duetrecinquesettete, come le altre spie romane di alto livello, ha a disposizione un abaco portatile potentissimo che permette di fare conti difficilissimi in breve tempo. I Romani lo usano per incrementare la sicurezza dei servizi segreti: prima di aprire a qualcuno la sentinella chiede di fare operazioni molto complicate per verificare se ha l’abaco. Abelix ha messo ko Duetrecinquesettete, ma l’abaco si è rotto. Il Gallo sperimenta allora un elisir dell’intelligenza e cerca di ...
Si dice doppio un numero formato da una doppia sequenza di cifre uguali (ad esempio 128128 è doppio, 49049 non lo è).
Dimostrare che esistono infiniti numeri doppi che sono quadrati perfetti.
Sia X un insieme di cardinalità n appartenente ad N. Quante sono le coppie (Y,Z), dove Y e Z sono
sottoinsiemi di X, tali che Y intersecato Z = insieme vuoto?
Sia data la seguente equazione, essendo $x,n,kinNN^+$
$3^k-1=x^n$
Si dimostri che per $n>1$ ed $n!=3$ essa non ha soluzioni
Ecco come l'ho dimostrato io:
Si pone $x^n=(3^(k/2)+1)(3^(k/2)-1)$ Da cui segue che $n=log_x(3^(k/2)+1)+log_x(3^(k/2)-1)$
Poiche supponiamo $n\inNN^+$, deve essere necessariamente vero che $(3^(k/2)+1)$ e $(3^(k/2)-1)$ sono potenze di $x$ (in caso contrario i due logaritmi non sarebbero numeri interi. In realtà la loro somma potrebbe essere ...
Ciao a tutti!
Volevo sottoporvi a voi matematici un quesito che mi assilla da un paio di giorni.
Ho una parete lunga 8,7 m con due aperture come da immagine allegata.
Vorrei dividere in parti uguali, in verticale, questa parete in modo da far coincidere queste divisioni anche con il bordo delle aperture.
Mi chiedevo se esiste un metodo matematico che mi consente fare questa operazione nel modo più preciso possibile.
Grazie per l'aiuto!
Saluti
Carmelo
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In una strada ci sono 5 case affiancate di 5 colori diversi. In ogni casa vive una persona di nazionalità diversa. Ognuno di essi beve un diverso tipo di bibita, fuma una diversa marca di sigari ed ha un diverso animale domestico. Inoltre:
- L'inglese vive nella casa rossa
- Lo svedese ha un cane
- Il danese beve tè
- La casa verde è immediatamente a sinistra della casa bianca
- Il proprietario della casa verde beve caffè
- Il signore che fuma sigarette Pall Mall alleva uccelli
- Il ...
Si trovino tutte le cinquine $(a,b,c,d,e)in[−2, 2]^5$ che risolvono il seguente sistema:
$\{(a+b+c+d+e=0),(a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0),(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=10):}$
Sommando le prime due equazioni ho ottenuto:
$a(a^2+1)+b(b^2+1)+c(c^2+1)+d(d^2+1)+e(e^2+1)=0$
Sommando la seconda e la terza ho ottenuto
$a^3(a^2+1)+b^3(b^2+1)+c^3(c^2+1)+d^3(d^2+1)+e^3(e^2+1)=10$
Sommando queste ultime due ho ottenuto
$a(a^2+1)^2+b(b^2+1)^2+c(c^2+1)^2+d(d^2+1)^2+e(e^2+1)^2=10$
Non so se da questi passaggi è possibile trarne qualche conclusione, cosa ne pensate?
Propongo un giochino simpatico adatto a tutti (risolvibile in più modi):
Un orsacchiotto deve arrampicarsi in cima ad un abete. Ci sono da superare $M$ ramificazioni prima di arrivare in alto.
Con un salto (se non si spezza) può distanziarsi di $1$ oppure $2$ rami. Quanti percorsi diversi può fare l'orsacchiotto per arrivare alla punta?
es. con $M=1$ ci possono essere due scelte: $2$ salti singoli ...
Ciao a tutti, vorrei proporvi alcune serie numeriche che non riesco a risolvere (e ci sto sbattendo la testa)
1) Qual'è il numero mancante che completa la seguente serie?
11; 12; 15; 1216 →
2) Qual'è il numero mancante che completa la seguente serie?
15; 12; 17; 19; 1116 →
Se mi potreste aiutare anche a capire il procedimento ve ne sarei grato!
Ciao a tutti.
Sto cercando di documentarmi invano. Devo tradurre in un linguaggio informatico (che restituisce le corrette soluzioni a fronte di input che variano) un indovinello che ho gia' sentito tante volte in modi differenti. Dal mio punto di vista sto cercando se esiste una regola matematica che "modellizzi" tali tipi di indovinelli.
Riporto l'indovinello:
c'e' una festa in maschera e sono state invitate alcune persone (A, B, C, D, E ed F). La presenza di queste persone e' legata alla ...
Vediamo chi lo risolve per primo:
Gli interi da $1$ a $2012$ sono scritti in una riga, ma in ordine sparso. La seguente operazione viene eseguita ripetutamente: se il primo numero è $k$, i primi $k$ numeri della riga vengono riscritti nell'ordine inverso a quello in cui sono.
Dimostrare che dopo un certo numero (finito) di queste operazioni il primo numero della fila sarà $1$.
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