Numeri doppi
Si dice doppio un numero formato da una doppia sequenza di cifre uguali (ad esempio 128128 è doppio, 49049 non lo è).
Dimostrare che esistono infiniti numeri doppi che sono quadrati perfetti.
Dimostrare che esistono infiniti numeri doppi che sono quadrati perfetti.
Risposte
Potrei sbagliarmi, ma forse ho dimostrato che non esistono quadrati perfetti di numeri doppi....
Puoi dirmene uno? Perché non riesco a trovarlo.
Puoi dirmene uno? Perché non riesco a trovarlo.
Probabilmente ho ragionato come Gianni, ma restando un passo indietro.
Questi numeri sono scrivibili come $10^k +1$ per il numero che si ripete, di $k$ cifre. Se esistessero infiniti quadrati perfetti della forma $10^k +1$ il gioco sarebbe fatto, ma non ne esiste nessuno. Il problema diventa:
Esistono numeri della forma $10^k +1$ divisibili per un quadrato perfetto (diverso da 1)?
Questi numeri sono scrivibili come $10^k +1$ per il numero che si ripete, di $k$ cifre. Se esistessero infiniti quadrati perfetti della forma $10^k +1$ il gioco sarebbe fatto, ma non ne esiste nessuno. Il problema diventa:
Esistono numeri della forma $10^k +1$ divisibili per un quadrato perfetto (diverso da 1)?
Esattamente!
Quindi il numero \(\displaystyle 10^k+1 \) deve comparire nel numero che si ripete visto che il risultato del prodotto deve essere un quadrato perfetto, ma ciò non avviene mai perchè \(\displaystyle 10^k+1 \) è sempre maggiore del numero. Per numero si intende la sequenza che si ripete. Quindi non ve ne sono.
Quindi il numero \(\displaystyle 10^k+1 \) deve comparire nel numero che si ripete visto che il risultato del prodotto deve essere un quadrato perfetto, ma ciò non avviene mai perchè \(\displaystyle 10^k+1 \) è sempre maggiore del numero. Per numero si intende la sequenza che si ripete. Quindi non ve ne sono.
No, è questo il punto che non mi è chiaro. Se fosse:
$10^k +1 = a^2 bcd...$ dove tutti sono fattori primi (ma è irrilevante),
per fare un quadrato perfetto basterebbe $bcd...$, che è più piccolo di $10^k +1$.
Però mi rendo conto ora che, ragionando sul numero di cifre, siccome $a^2 > 10$, $bcd...$ ha almeno 2 cifre in meno di $10^k +1$, mentre ne dovrebbe avere solo una in meno.
$10^k +1 = a^2 bcd...$ dove tutti sono fattori primi (ma è irrilevante),
per fare un quadrato perfetto basterebbe $bcd...$, che è più piccolo di $10^k +1$.
Però mi rendo conto ora che, ragionando sul numero di cifre, siccome $a^2 > 10$, $bcd...$ ha almeno 2 cifre in meno di $10^k +1$, mentre ne dovrebbe avere solo una in meno.
Per chiarire meglio, l'equazione diventa, se la sequenza è formata da \(\displaystyle n \) termini \(\displaystyle (a_1,a_2,...,a_n) \), la seguente
\(\displaystyle (10^n+1)\left(\sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}\right)=k^2 \)
siccome \(\displaystyle 10^n+1 \not = m^2 \) cioè non è mai un quadrato perfetto, e non contiene mai due stessi fattori primi (cosa un po' difficile da dimostrare, ma provando molti casi lo si può notare) chiaramente \(\displaystyle 10^k+1 | \sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}\) che è impossibile, basta considerare come dice robbstark il numero di cifre.
\(\displaystyle (10^n+1)\left(\sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}\right)=k^2 \)
siccome \(\displaystyle 10^n+1 \not = m^2 \) cioè non è mai un quadrato perfetto, e non contiene mai due stessi fattori primi (cosa un po' difficile da dimostrare, ma provando molti casi lo si può notare) chiaramente \(\displaystyle 10^k+1 | \sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}\) che è impossibile, basta considerare come dice robbstark il numero di cifre.
Non capisco l'ultima formula che hai scritto.
Quanto al discorso delle cifre dimostra proprio il fatto che $10^k +1$ non contiene mai un fattore primo 2 volte.
Quanto al discorso delle cifre dimostra proprio il fatto che $10^k +1$ non contiene mai un fattore primo 2 volte.
Allora, se non ho sgarrato il ragionamento è questo: \(\displaystyle (10^n+1)\left(\sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}\right)=k^2 \) da cui chiaramente si ha \(\displaystyle 10^n+1|k^2 \) e siccome \(\displaystyle 10^n+1 \) è composto da fattori primi tutti con esponente \(\displaystyle 1 \) si ha che \(\displaystyle 10^n+1|k \). Sostituisco \(\displaystyle k=t(10^n+1) \) nell'equazione iniziale ed ottengo:
\(\displaystyle (10^n+1)\left(\sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}\right)=t^2(10^n+1)^2 \) da cui \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}=t^2\cdot (10^n+1) \) da cui \(\displaystyle 10^n+1| \sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1} \).
\(\displaystyle (10^n+1)\left(\sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}\right)=t^2(10^n+1)^2 \) da cui \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1}=t^2\cdot (10^n+1) \) da cui \(\displaystyle 10^n+1| \sum_{i=0}^{n-1} 10^ia_{i+1} \).
Ah ok, non è uguale uguale al mio, ma va bene pure.
Veramente i quadrati perfetti ci sono:uno dovrebbe essere $(\frac{(10^21+1)(48)}{49})^2$.
Wolfram dice che quel numero è: \(\displaystyle 959600166597251145358020824656393169512704 \) e non dovrebbe essere un numero doppio.
Allora forse al posto di 48 c'era 6 e al posto di 49 c'era 7,in ogni caso i quadrati perfetti ci sono.
Sì è vero, sostituendo come dici viene. Questo perchè \(\displaystyle 10^{21}+1 \) ha un fattore primo che si ripete! Sarebbe il fattore 7. Il problema sta nel capire se accade periodicamente che \(\displaystyle 10^k+1 \) ha un fattore primo con esponente 2, se si riesce a dimostrare questo il problema è finito.
Ecco l'errore che ho fatto:
Ammesso che esista $10^k +1 = a^2 bcd$, non è vero che l'altro numero a moltiplicare per ottenere un quadrato perfetto debba essere $bcd$, ma può anche essere $bcd z^2$ per esempio.
Resta da vedere appunto perchè ci sarebbero infinite soluzioni a questo punto.
Ammesso che esista $10^k +1 = a^2 bcd$, non è vero che l'altro numero a moltiplicare per ottenere un quadrato perfetto debba essere $bcd$, ma può anche essere $bcd z^2$ per esempio.
Resta da vedere appunto perchè ci sarebbero infinite soluzioni a questo punto.
Secondo me, con queste sommatorie state soltanto rendendo piu complicata la faccenda.
se $n$ è il numero non sdoppiato, siano $k$ le sue cifre, il numero doppio sarà pari a $n(10^k+1)$.
Consideriamo ora $10^k+1$. Esso non può essere multiplo di un quadrato perfetto, ma può essere soltanto essere espresso come il prodotto di fattori primi. Ne consegue che dovrebbe essere $n=10^k+1$, affinchè sia un quadrato perfetto il numero doppio, tuttavia $n$ è formato da $k$ cifre, mentre il numero $10^k+1$ ne ha $k+1$, perciò è impossibile che sussista l'uguaglianza.
Tuttavia se ad esempio $10^k+1=n^3$ potrebbe essere un quadrato perfetto il numero doppio? No, perchè $10^k+1$ può essere espresso solo come prodotto di fattori primi.
Pertanto non esistono numeri doppi che siano anche quadrati perfetti.
se $n$ è il numero non sdoppiato, siano $k$ le sue cifre, il numero doppio sarà pari a $n(10^k+1)$.
Consideriamo ora $10^k+1$. Esso non può essere multiplo di un quadrato perfetto, ma può essere soltanto essere espresso come il prodotto di fattori primi. Ne consegue che dovrebbe essere $n=10^k+1$, affinchè sia un quadrato perfetto il numero doppio, tuttavia $n$ è formato da $k$ cifre, mentre il numero $10^k+1$ ne ha $k+1$, perciò è impossibile che sussista l'uguaglianza.
Tuttavia se ad esempio $10^k+1=n^3$ potrebbe essere un quadrato perfetto il numero doppio? No, perchè $10^k+1$ può essere espresso solo come prodotto di fattori primi.
Pertanto non esistono numeri doppi che siano anche quadrati perfetti.
Mi spiace UmbertoM ma ti sbagli. I numeri doppi che sono quadrati perfetti esistono, ne ha citato uno Freddy.
Allora noi sappiamo che necessariamente \(\displaystyle 10^n+1|k^2 \) ma questo non implica necessariamente che \(\displaystyle 10^n+1|k \), è vero solo se \(\displaystyle 10^n+1 \) ha tutti fattori di primo grado.
Esempio se \(\displaystyle 12|u^2 \) questo non significa che \(\displaystyle 12|u \) ma che \(\displaystyle 6|u \).
In certi casi \(\displaystyle 10^n+1 \) ha dei fattori primi di secondo grado tipo \(\displaystyle 10^{11}+1 \), \(\displaystyle 10^{21}+1 \), \(\displaystyle 10^{33}+1 \).
Prendiamo tipo \(\displaystyle 10^{11}+1=11^2\cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779 \), quindi per quanto detto prima si deve avere che \(\displaystyle 11\cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779|k \).
Sostituiamo nell'equazione:
\(\displaystyle (10^{11}+1)(10^{10}a+10^9b+10^8c+10^7c+10^6d....+l)=11^2\cdot 23^2 \cdot 4093^2\cdot 8779^2 \cdot t^2 \)
da cui semplificando si ricava che \(\displaystyle 23 \cdot 4093 \cdot 8779|10^{10}a+10^9b+10^8c+10^7c+10^6d....+l \) che è possibilissimo!
Da notare è che \(\displaystyle 23 \cdot 4093 \cdot 8779 \) ha 9 cifre. Mentre il numero \(\displaystyle 10^{10}a+10^9b+10^8c+10^7c+10^6d....+l\) ne ha 11. Quindi questo numeraccio deve contenere un altro fattore che è un quadrato perfetto come ad esempio 16. Una possibile sequenza è questa: \(\displaystyle 13223140496 \).
Infatti \(\displaystyle \sqrt{1322314049613223140496}=36363636364 \)
!
Allora noi sappiamo che necessariamente \(\displaystyle 10^n+1|k^2 \) ma questo non implica necessariamente che \(\displaystyle 10^n+1|k \), è vero solo se \(\displaystyle 10^n+1 \) ha tutti fattori di primo grado.
Esempio se \(\displaystyle 12|u^2 \) questo non significa che \(\displaystyle 12|u \) ma che \(\displaystyle 6|u \).
In certi casi \(\displaystyle 10^n+1 \) ha dei fattori primi di secondo grado tipo \(\displaystyle 10^{11}+1 \), \(\displaystyle 10^{21}+1 \), \(\displaystyle 10^{33}+1 \).
Prendiamo tipo \(\displaystyle 10^{11}+1=11^2\cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779 \), quindi per quanto detto prima si deve avere che \(\displaystyle 11\cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779|k \).
Sostituiamo nell'equazione:
\(\displaystyle (10^{11}+1)(10^{10}a+10^9b+10^8c+10^7c+10^6d....+l)=11^2\cdot 23^2 \cdot 4093^2\cdot 8779^2 \cdot t^2 \)
da cui semplificando si ricava che \(\displaystyle 23 \cdot 4093 \cdot 8779|10^{10}a+10^9b+10^8c+10^7c+10^6d....+l \) che è possibilissimo!
Da notare è che \(\displaystyle 23 \cdot 4093 \cdot 8779 \) ha 9 cifre. Mentre il numero \(\displaystyle 10^{10}a+10^9b+10^8c+10^7c+10^6d....+l\) ne ha 11. Quindi questo numeraccio deve contenere un altro fattore che è un quadrato perfetto come ad esempio 16. Una possibile sequenza è questa: \(\displaystyle 13223140496 \).
Infatti \(\displaystyle \sqrt{1322314049613223140496}=36363636364 \)
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Stavo pensando che è possibile porre
$(10^k+1)=a^2b$ ove $a^2$ è il prodotto di tutti i fattori quadrati e $b$ il prodotto di tutti i fattori primi.
mentre si può porre $n=bc^2$ ove $c^2$ è il prodotto tra tutti i fattori quadrati di $n$.
perciò $(10^k+1)/n=c^2/a^2$ ossia è il quadrato di un numero razionale.
Ma da qui come si potrebbe procedere per dimostrare che esistono infinite coppie $(n;k)$ che soddisfano questa condizione?
$(10^k+1)=a^2b$ ove $a^2$ è il prodotto di tutti i fattori quadrati e $b$ il prodotto di tutti i fattori primi.
mentre si può porre $n=bc^2$ ove $c^2$ è il prodotto tra tutti i fattori quadrati di $n$.
perciò $(10^k+1)/n=c^2/a^2$ ossia è il quadrato di un numero razionale.
Ma da qui come si potrebbe procedere per dimostrare che esistono infinite coppie $(n;k)$ che soddisfano questa condizione?
Ho trovato!
Allora noi abbiamo \(\displaystyle 10^n+1 \). Suppongo che \(\displaystyle n \) sia dispari per cui posso scomporre come: \(\displaystyle 11(10^{n-1}-10^{n-2}+...+10^2-10+1) \). Adesso devo fare in modo che \(\displaystyle 10^{n-1}-10^{n-2}+...+10^2-10+1\equiv 0 \pmod{11} \) ma poichè \(\displaystyle 10^{n-1}-10^{n-2}+...+10^2-10+1\equiv n \pmod{11} \), quindi è sufficiente che \(\displaystyle 11|n \) con \(\displaystyle n=2t+1 \). Questo può accadere infinite volte e per quanto detto nei messaggi precedenti si ha che la tesi è vera.
Allora noi abbiamo \(\displaystyle 10^n+1 \). Suppongo che \(\displaystyle n \) sia dispari per cui posso scomporre come: \(\displaystyle 11(10^{n-1}-10^{n-2}+...+10^2-10+1) \). Adesso devo fare in modo che \(\displaystyle 10^{n-1}-10^{n-2}+...+10^2-10+1\equiv 0 \pmod{11} \) ma poichè \(\displaystyle 10^{n-1}-10^{n-2}+...+10^2-10+1\equiv n \pmod{11} \), quindi è sufficiente che \(\displaystyle 11|n \) con \(\displaystyle n=2t+1 \). Questo può accadere infinite volte e per quanto detto nei messaggi precedenti si ha che la tesi è vera.
Ma cosa vuol dire $11|n$?
Ciao,
quella scrittura significa "$11$ divide $n$", cioè $n$ è un multiplo di $11$.
quella scrittura significa "$11$ divide $n$", cioè $n$ è un multiplo di $11$.
Grazie, mi chiedevo anche cosa significasse$10^(n−1)−10^(n−2)+...+10^2−10+1≡0$ $(mod11)$
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