Somma di potenze

[Omar931]

Trovare tutte le coppie r,s di numeri reali non negativi tali che:
I) [tex]2^{r^2+s^4}+2^{r^4+s^2} = 8[/tex]
II) [tex]r + s = 2[/tex]

[totissimus]

Una soluzione è \( r=s=1\), proviamo che essa è l'unica soluzione del problema.

Data la simmetria dell'equazione, possiamo supporre \( r \leq s\)
Poniamo \( r=1-u, s=1+u\), con \( 0 \leq u \leq 1\).
\( r^2+s^4=(1-u)^2+(1+u)^4=u^4+4u^3+7u^2+2u+2\)
\( s^2+r^4=(1+u)^2+(1-u)^4=u^4-4u^3+7u^2-2u+2\)
L'equazione diventa:

\( 2^{u^4+4u^3+7u^2+2u+2}+2^{u^4-4u^3+7u^2-2u+2}=8\)
\(2^{u^4+7u^2+2}(2^{4u^3+2u^2}+2^{-4u^3-2u})=8\)

La funzione \( x+\frac{1}{x}\) per \( x>0\) ha un minimo assoluto per \( x=1\) che vale \( 2 \), quindi

\( x+\frac{1}{x}\geq 2\) per \( x>0\), in particolare

\( 2^{4u^3+2u^2}+2^{-4u^3-2u} \geq 2\) e ciò implica:

\(2^{u^4+7u^2+2}\leq 4 \)

\( u^4+7u^2 +2\leq 2\)

\( u^4+7u^2 \leq 0\)

\( u^2(u^2+7) \leq 0\)

da cui necessariamente \( u=0\) e quindi \( r=s=1\)