Cesenatico 2012 4

[Omar931]

Secondo me questo è più facile del terzo (peccato che però non ho scritto tutto )

Sia [tex]x_1, x_2, x_3,......[/tex] la successione definita per ricorrenza come segue:

[tex]x_1 = 4[/tex]
[tex]x_{n+1} = x_1 x_2 x_3 * * * x_n + 5[/tex]

(I primi termini della succesione sono quindi [tex]x_1 = 4[/tex], [tex]x_2 = 4 + 5 = 9[/tex], [tex]x_3 = 4 * 9 + 5 = 41[/tex])
Trovare tutte le coppie {a, b} tali che [tex]x_ax_b[/tex] è un quadrato perfetto.

[totissimus]

Le soluzioni immediate sono: \( x_1x_2=4 \cdot 9 = 36\) e \( x_a \cdot x_a = (x_a)^2\)
Proviamo che non ci sono altre soluzioni.

Nessun numero \( x_n\) è divisibile per \( 5 \): segue facilmente per induzione.
Se \( a \neq b \) risulta \( MCD(x_a,x_b)=1\) infatti se \(a Se \(x_a\cdot x_b=u^2\) allora necessariamente \(x_a,x_b\) devono essere quadrati perfetti.
Proviamo che per \(n>2 \) \( x_n\) non può essere un quadrato perfetto.
Sia \( n>1\) abbiamo:
\( x_{n+1}=(x_1 \cdots x_{n-1})x_n+5=(x_n-5)x_n+5=x^2_n-5x_n+5\)
Si vede facilmente che:
\( (x_n-3)^2 < x_{n+1} < x^2_n\)
Quindi se \( x_{n+1}\) è un quadrato, può essere solo il quadrato di \( x_{n-2}\) o di \( x_{n-1}\)
Se \( x_{n+1}=x^2_{n-2}\) abbiamo:
\( x^2_n+5x_n+5=(x_n-2)^2\) da cui \( x_n=1\) che non corrisponde a un valore della successione.
Se \( x_{n+1}=x^2_{n-1}\) abbiamo:
\( x^2_n+5x_n+5=(x_n-1)^2\) da cui \( x_n=\frac{4}{3}\) che non corrisponde a un valore della successione.

[marco99991]

Solo un paio di cose: nella 5-ultima riga devi scrivere $x_n-2$ e $x_n-1$, nella 3-ultima il valore di $x_n$ è $-1/9$ e nell'ultima il valore di $x_n$ è $-4/7$. Comunue mi sembra un'ottima dimostrazione, complimenti

[totissimus]

@marco9999: grazie per le correzioni.