Domini di olomorfia per tutti i gusti
Considerata la serie di potenze a valori complessi
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n^2};
\]
determinare il suo insieme di convergenza \(\displaystyle S\). Denominata \(\displaystyle f(z)\) la sua funzione somma:
[list=1]
[*:1wxotzhe] determinare una sua forma esplicita,[/*:m:1wxotzhe]
[*:1wxotzhe] determinare il suo dominio di olomorfia \(\displaystyle\Omega\).[/*:m:1wxotzhe][/list:o:1wxotzhe]
Definita la successione di funzioni a valori complessi
\[
\forall k\in\mathbb{N}_{\geq0},\,g_k(z)=f\left(z^k\right);
\]
[list=1]
[*:1wxotzhe]determinare il dominio di olomorfia di ogni \(\displaystyle g_k(z)\);[/*:m:1wxotzhe]
[*:1wxotzhe]studiarne la convergenza e diversi insiemi di convergenza;[/*:m:1wxotzhe]
[*:1wxotzhe]cosa si può dire del dominio di olomorfia della funzione limite?[/*:m:1wxotzhe][/list:o:1wxotzhe]
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n^2};
\]
determinare il suo insieme di convergenza \(\displaystyle S\). Denominata \(\displaystyle f(z)\) la sua funzione somma:
[list=1]
[*:1wxotzhe] determinare una sua forma esplicita,[/*:m:1wxotzhe]
[*:1wxotzhe] determinare il suo dominio di olomorfia \(\displaystyle\Omega\).[/*:m:1wxotzhe][/list:o:1wxotzhe]
Definita la successione di funzioni a valori complessi
\[
\forall k\in\mathbb{N}_{\geq0},\,g_k(z)=f\left(z^k\right);
\]
[list=1]
[*:1wxotzhe]determinare il dominio di olomorfia di ogni \(\displaystyle g_k(z)\);[/*:m:1wxotzhe]
[*:1wxotzhe]studiarne la convergenza e diversi insiemi di convergenza;[/*:m:1wxotzhe]
[*:1wxotzhe]cosa si può dire del dominio di olomorfia della funzione limite?[/*:m:1wxotzhe][/list:o:1wxotzhe]
Risposte
Per i primi due quesiti, risponderei così:
Ecco, è lì che volevo l'analista compless(at)o di turno!

Perché sono un cretino io, che ho scritto di corsa e non ho applicato correttamente il Teoremino [nota]Il cui enunciato è il seguente:
Sia $sum a_n z^n$ una serie di potenze a coefficienti reali positivi.[/nota] perché non ne ricordavo bene l'enunciato.
Se la successione dei coefficienti è decrescente ed infinitesima, allora la serie converge in tutti i punti della circonferenza unitaria, ad eccezione al più del punto $1$.
Dunque, il raggio di convergenza della serie è $>=1$ ed è uguale ad $1$ se la serie numerica $sum a_n$ diverge.

Se tu sei un cretino: io che sono?, sono confuso!

