Raggio della sfera circoscritta ad un tetraedro irregolare

[Erasmus_First]

Sia ABCD un tetraedro le lunghezze dei cui sei spigoli siano note.
Quesito:
[size=120]Descrivere una procedura atta a determinare il raggio della sfera circoscritta[/size] (sfruttando la conoscenza delle lunghezze degli spigoli).

Metto una figura illustrativa in cui c'è anche un esempio delle sei lunghezze degli spigoli.

–––> Figura illustrativa

[Ovviamente "u" sta a significare una arbitraria unità di misura di lunghezze].

Quesiti aggiuntivi:
a) Quanto vale il volume del tetraedro dell'esempio?
b) Quando vale il raggio della sfera circoscritta al tetraedro dell'esempio?
c) Per il tetraedro dell'esempio, esiste o no la sfera tangente a tutti gli spigoli?
[In generale, note le lunghezze degli spigoli d'un tetraedro, come si può sapere se esiste la sfera tangente a tutti gli spigoli?]
_________

[Erasmus_First]

... Toc, toc! ... C'è nessuno?
Alex: 'ndò ti sei nascosto?

----------
Comunque, ecco un po' di calcoli spiccioli sull'esempio che sta nella figura che ho messo nel precedente "post".

––> Calcolo sui dati dell'esempio

.
Sia K (di coordinate [xK, yK, zK] per ora incognite) il centro ed R il raggio della sfera circoscritta. Allora l'equazione cartesiana di questa sfera:
(x – xK)^2 + (y – yK)^2 + (z–zK^2) = R^2

deve essere soddisfatta dalle coordinate di ciascuno dei 4 vertici A, B, C e D del tertraedro.
Siccome le coordinate di A sono state assunte [0, 0, 0] ed è anche R=AK, deve essere:
R^2 = AK^2 = xK^2 + yK^2 + zK^2 [**]
per cui l'equazione

diventa

x^2 + y^2 + z^2 – 2(2(x^k·x + yK·y + zK·z) = 0
che si può anche scrivere nella forma
2(2(x^k·x + yK·y + zK·z) = x^2 + y^2 + z^2. [***].
Da questa, mettendo al posto di [x. y, z] un colpo le coortdinater di di B [c[size=100]x[/size], c[size=100]y[/size], c[size=100]z[/size]]. un altro quelle di C [b[size=100]x[/size], b[size=100]y[/size], b[size=100]z[/size]] ed un altro ancora quelle di D [I[d[size=100]x[/size], d[size=100]y[/size], d[size=100]z[/size]], si ricava un sistema lineare canonico determinato di tre equazioni nelle incohnite [xK, yK, zK] coordinate del centro K della sfera circoscritta al tetraedro ABCD, risolto il quale si calcola R dalla [**]

_________

[Erasmus_First]

"Erasmus_First":... Toc, toc! ... C'è nessuno?
Alex: 'ndò ti sei nascosto?

Leggo adesso che ci sono state ben 148 visite ma nessun intervento tranne il mio (dopo alcuni giorni in cui cresceva di giorno in giorno il numero di visite).

Ho messo questo problemino in questa sezione ... per richiamare l'attenzione sul fatto che la "trigonometria sferica" non si studia (o per lo meno non si studiava ai miei tempi) nei corsi di matematica delle scuole preuniversitarie e memmeno (dico sempre "ai miei tempi") nel biennio di ingegneria né nei primi due anni della facoltà di "Matematica".
Eppure mi pare che un pizzico di trigonometria sferica – che non è più  difficile della trigonometria piana – oltre che utile nella pratica, per esempio in astronomia – sarebbe opportuna anche, dal punto di vista formativo (offrendo una speciale utile visione "stereoscopica" dello spazio [tridimensionale]).

Come illustrato nell'esempio (discusso nel mio precedente "post". il calcolo della distanza di un vertice di un tetraedro dalla sua faccia opposta note che siano le lunghezze degli spigoli richiede la conoscenza di uno dei tre angoli diedri che la faccia opposta di quel vertice fa con ciascuna delle altre tre facce.
Nel testo che ho messo per il calcolo del volume del tetraedro dell'esempio si vede che ho utilizzato la formula del cosiddetto "primo teorema del coseno", ossia quello che, di un generico "triedro", dà il coseno di un angolo diedro in funzione degli angoli delle facce del triedro.
Precisamente:
Sia AB uno spigolo del tetraedro ABCD, sia β l'angolo diedro di spigolo AB e siano φ, χ e ψ gli angoli del "triedro" di vertice A e spigoli AB, AC e AD [come illustrato nella figura dell'immagine del mio precedente "post"]. Allora (come si può leggere nel mio precedente "post") vale la seguente uguaglianza:
$cos(β) = [cos(χ) – cos(ψ)·cos(φ)]/[sin(ψ)·sin(φ)]$.

Dato tetraedro ABCD di cui siano note le lunghezze degli spigoli, mettyiamo A nell'origine del sistema di riferimento carteiano, B sul semiasse positivo dell'asse x e C nel semipiano don y >0 del piano degli assi x e y.
Allora, note le lunghezze degli spigoli, è possibile calcolare (sfruttando la trigonometria piana e l'annotata formula

i trigonometria sferica) le coordinate di tutti i quattro vertici; dopo di che è facile scrivere l'equazione della sfera per i 4 vertici del dato tetraedro, ed in particolare calcolarne il raggio.

_________

[Erasmus_First]

"Erasmus_First":... Toc, toc! ... C'è nessuno?
Alex: 'ndò ti sei nascosto?

----------
Comunque, ecco un po' di calcoli spiccioli sull'esempio che sta nella figura che ho messo nel precedente "post".

––> Calcolo sui dati dell'esempio

.
Sia K (di coordinate [xK, yK, zK] per ora incognite) il centro ed R il raggio della sfera circoscritta. Allora l'equazione cartesiana di questa sfera:
(x – xK)^2 + (y – yK)^2 + (z – zK)^2 = R^2

deve essere soddisfatta dalle coordinate di ciascuno dei 4 vertici A, B, C e D del tertraedro.
Siccome le coordinate di A sono state assunte [0, 0, 0] ed è anche R=AK, deve essere:
R^2 = AK^2 = xK^2 + yK^2 + zK^2 [**]
per cui l'equazione

diventa

x^2 + y^2 + z^2 – 2(xK·x + yK·y + zK·z) = 0
che si può anche scrivere nella forma
2(xK·x + yK·y + zK·z) = x^2 + y^2 + z^2. [***].
Da questa, mettendo al posto di [x. y, z] un colpo le coortdinater di B [b[size=100]x[/size], b[size=100]y[/size], b[size=100]z[/size]]. un altro quelle di C [c[size=100]x[/size], c[size=100]y[/size], c[size=100]z[/size]] ed un altro ancora quelle di D [I[d[size=100]x[/size], d[size=100]y[/size], d[size=100]z[/size]], si ricava un sistema lineare canonico determinato di tre equazioni nelle incohnite [xK, yK, zK] coordinate del centro K della sfera circoscritta al tetraedro ABCD, risolto il quale si calcola R dalla [**]

_________