Una (curiosa) disuguaglianza integrale

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione continua, strettamente positiva e tale che \( f(x + 1)=f(x) \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \). Mostrare che \[ \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx \ge 1.\]
Soluzione in spoiler.

Preliminarmente osservo che la funzione \(g: x \mapsto x + 1/x \) è tale che \(g(x) \ge 2 \) per ogni \(x > 0 \). Poi \[ \begin{split} \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx & = \int_0^{1/2}\frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx + \int_{1/2}^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx \\ & = \int_0^{1/2}\frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx + \int_0^{1/2}\frac{f(x+1/2)}{f(x)} \, dx \\ & = \frac{1}{2} \left[\frac{f(c)}{f(c+ 1/2)} + \frac{f(c+1/2)}{f(c)} \right] \end{split} \]con \(c\in [0,1/2] \) dal teorema della media integrale. L'ultima riga è \( \ge 1 \) per le considerazioni preliminari.

[gugo82]

Carina!

Un paio di rilanci standard.

1. Cosa succede se si cambia il periodo?

2. Esistono funzioni per cui vale l’uguaglianza?
In altre parole, la costante $1$ è raggiunta?

3 (La continuità non serve a un granché). Provare che la disuguaglianza rimane valida anche per funzioni non continue.

[otta96]

Per la 2, l'$1$ è raggiunto se si prendono le funzioni costanti, sarebbe interessante capire se ci sono anche altri casi o no.

[Sk_Anonymous]

Per rispondere a 3, credo basti utilizzare AM-GM nel punto in cui io ho usato il teorema della media integrale.

[gugo82]

@otta96: A naso direi di sì, perciò ho posto il problema.

@Delirium: Beh, basta evitare il teorema della media integrale. Si può usare la minorazione con $g$ direttamente per l’integrando.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":[...] @Delirium: Beh, basta evitare il teorema della media integrale. Si può usare la minorazione con $g$ direttamente per l’integrando.

Ah, vero!

[gugo82]

E, per inciso, usarla in questo modo dà informazioni sul caso di uguaglianza per funzioni continue.

[Sk_Anonymous]

Beh sì, si tratta di risolvere \[ \frac{f(x)}{f(x+1/2)} + \frac{f(x+1/2)}{f(x)} = 2 \quad \forall \, x \]per \(f\) continue, donde si ricava che l'uguaglianza è raggiunta (almeno) per funzioni continue di periodo \(1/2\) e strettamente positive.

[gugo82]

E appunto...

Visto che $g(xi)=2$ se e solo se $xi =1$, quando vale l’uguaglianza nella disuguaglianza si ha necessariamente $f(x) = f(x+1/2)$ per ogni $x in [0,1/2]$. Quindi $f$ è periodica di periodo $1/2$.
Verificare il viceversa è banale.
Ne consegue che l’uguaglianza è raggiunta se e solo se $f$ è periodica di periodo $1/2$.