Una disuguaglianza per la norma $L^2$ della derivata

[gugo82]

Problema:

Provare che la disuguaglianza:
\[
\| f^\prime \|_2 \geq \sqrt{b - a}
\]
vale per ogni $f:[a,b] -> RR$ di classe $C^1$ con $f(a)=a$ ed $f(b)=b$ e caratterizzare il caso d’uguaglianza.

[Sk_Anonymous]

Mi sembra una (semplice) applicazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nonostante trovi il risultato in qualche modo sorprendente: \[ b-a=\int_a^b f' (t) \, dt \le \left( \int_a^b |f' (t) |^2 \, dt \right)^{1/2} \cdot \left( \int_a^b \, dt \right)^{1/2} = \| f' \|_{L^2 ([a,b])} \sqrt{b-a} \]donde \[ \| f' \|_{L^2 ([a,b])} \ge \sqrt{b-a}.\]L'uguaglianza in CS vale sse le due funzioni sono una multipla dell'altra.

[gugo82]

Io l’avevo fatta più elementare...

Considero $\Delta (x) := f(x) - x$ che è di classe $C^1$ ed ha $Delta(a) =0 = Delta(b)$. Ho:
\[
\begin{split}
\int_a^b (f^\prime (x))^2 \ \text{d} x &= \int_a^b (\Delta^\prime (x) )^2\ \text{d} x + 2 \int_a^b \Delta^\prime (x) \ \text{d} x + \int_a^b 1\ \text{d} x\\
&\geq 2 \int_a^b \Delta^\prime (x) \ \text{d} x + \int_a^b 1\ \text{d} x\\
&= b - a\;.
\end{split}
\]
D’altra parte, l’uguaglianza è soddisfatta solo se $Delta^\prime (x) = 0$ in $]a,b[$, ossia se $ f(x) = x + C$; dato che $f(a) = a$, risulta $C=0$ e dunque $f(x) = x$.

Il che mi porta al seguente problema:

Cosa accade alla disuguaglianza se $f(a) = A$ ed $f(b) = B$, con $A, B$ non necessariamente coincidenti con $a,b$?

[Sk_Anonymous]

"gugo82":[...]

Il che mi porta al seguente problema:

Cosa accade alla disuguaglianza se $f(a) = A$ ed $f(b) = B$, con $A, B$ non necessariamente coincidenti con $a,b$?

Dipende da cosa intendi; se vuoi rimpiazzare \(\sqrt{b-a} \) con \(\sqrt{B-A} \) RHS, allora è ancora vera se \( B -A \ge b-a\) - nella mia dimostrazione \[ \left( \int_a^b \, dx \right)^{1/2} \le \left( \int_A^B \, dx \right)^{1/2}. \]Se \( b-a > B-A \ge 0 \) e' falsa, prendi per esempio \(A=1/3\), \(B=1/2\), \(a=0\), \(b=1\) e \(f(x)=x/6 + 1/3\).