Sempre su operatori in spazi di Hilbert

[Bremen000]

Anche questi due esercizi sono presi dall'ammissione al dottorato in Sissa. Il primo l'ho risolto e trovato carino e volevo proporlo ai (pochi) frequentatori della sezione. Del secondo invece non riesco a venire a capo del punto 2.


Esercizio 1
Sia \( \{T_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di operatori non nulli, auto aggiunti, ovunque definiti su uno spazio di Hilbert \( H \) tali per cui per ogni \( n \in \mathbb{N} \):
\[ T^2_n = \biggl ( 1+\frac{1}{n} \biggr ) T_n \quad \quad \quad Im(T_n) \subset Im(T_{n+1}) \quad \quad \quad \bigcup_{n} Im(T_n) = H \]
1. Dimostrare che ogni $T_n$ è limitato e inoltre \( \|T_n \| = 1+1/n \).
2. Dimostrare che per ogni \( x \in H \) si ha che \( T_n x \to x \) quando \( n \to \infty \).



Esercizio 2
Sia $T$ un operatore compatto e autoaggiunto su uno spazio di Hilbert $H$ e sia $p : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ un polinomio avente zeri solo reali tale che
\[ p(T) = 0 \]
1. Dimostrare che se $H$ ha dimensione infinita allora $0$ è un autovalore di $T$.
2. Assumendo che $p(s)>0$ per ogni $s<0$, dimostrare che vale \( \langle Tx, x \rangle \ge 0 \) per ogni $x \in H$.

[Sk_Anonymous]

Comincio a risolvere l'esercizio 1 (anche se non specificato, assumo che gli operatori siano lineari).

1. Usando l'autoaggiunzione e Cauchy-Schwarz si ha \[ \|T_n x \|^2= \langle T_n x , T_n x \rangle = \langle x , T_n^2 x \rangle = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \langle x , T_n x \rangle \le \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \|x\| \|T_n x\| \]donde \[ \|T_n x\| \le \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \|x\| \] per ogni \(n \in \mathbb{N}\) e ogni \(x \in H \) per cui \(T_n x \ne 0\). Per gli \(x\) tali che \(T_n x = 0\) la disuguaglianza e' ancora banalmente verificata. D'altro canto \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \| T_n x \| = \| T^2 _n x \| \le \|T_n\| \|T_n x \| \] da cui \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \le \|T_n\|. \] Ne segue l'uguaglianza per ogni \(n\).

2. Siccome \( T^2_n - T_n = T_n/n\), si ha che \( \lim_n (T^2 _n - T_n)(x)=0\) per ogni \(x \in H\). Dalle ipotesi fatte sulle immagini, per ogni \(x \in H\) esiste \(N\) tale che \(x \in \text{im } T_n\) per ogni \(n \ge N\). Fissiamo ora un \(\bar{x} \in H\); per quanto detto poc'anzi \(T_n y_n = \bar{x}\) per ogni \(n \ge N(\bar{x}) \in \mathbb{N} \), per una certa successione di punti \( \{y_n\}_{n \ge N(\bar{x})} \subseteq H \). Si ha quindi \[T_n \bar{x} - \bar{x} = (T^2_n - T_n)(y_n) = T_n y_n/n=\bar{x}/n \to 0 \]in norma per \(n \to \infty\).

Con gli operatori compatti sono un po' arrugginito, quanto prima riprendo in mano il libro e provo a risolvere anche il secondo.

[Bremen000]

Ciao Delirium! Non ho guardato la dimostrazione ma penso non si debba assumere la linearità!

[Sk_Anonymous]

In effetti non l'ho usata (all'inizio pensavo l'avrei fatto, ma poi no). Ma la definizione di aggiunto viene di solito data per operatori lineari (o almeno io non ne ho mai vista una per operatori nonlineari).

[Bremen000]

Non hai tutti i torti

Però siccome non avevo usato manco io la linearità (dimostrazione identica alla tua per quanto ho guardato) ho detto “chissà!”.
Poi posto cosa ho fatto nel 2.1!

[killing_buddha]

La linearità è implicita nel nome "operatore", no?

[Sk_Anonymous]

"killing_buddha":La linearità è implicita nel nome "operatore", no?

Non credo, vari autori usano il termine operator per indicare una qualsiasi mappa \(X \to Y\), con \(X, Y\) spazi di Banach.

[killing_buddha]

"Delirium":[quote="killing_buddha"]La linearità è implicita nel nome "operatore", no?

Non credo, vari autori usano il termine operator per indicare una qualsiasi mappa \(X \to Y\), con \(X, Y\) spazi di Banach.[/quote]
Beh, ma gli spazi di Banach sono spazi vettoriali (topologici), che altra mappa che preserva la struttura potresti prendere, se non una mappa lineare (e continua)?

[Sk_Anonymous]

Ma ti serve per forza che la mappa preservi la struttura? Prendi un qualsiasi Hilbert \( H\) e un suo sottoinsieme \(C\) non vuoto, chiuso e convesso. La proiezione su \(C\) non e' necessariamente lineare (pero' e' almeno 1-Lipschitiziana).

[killing_buddha]

"Delirium":Ma ti serve per forza che la mappa preservi la struttura?

E' una freccia in una categoria diversa da \(\bf Hilb\).

[Bremen000]

Nel corso di analisi funzionale che ho seguito si parlava esplicitamente anche di "operatori non lineari". Poi le fini questioni strutturali/categoriste (?) sono al di là delle mie competenze.

Per il 2.1

Sotto le ipotesi date esiste una base ortonormale \( \{v_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) di $H$ fatta da autovettori di $T$. Sia \( \{ \lambda_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) la corrispondente successione di autovalori (ogni autovalore appare nella successione tante volte quanto è la sua molteplicità geometrica).

Poiché per ogni reale $\alpha$ e intero non negativo $n$ si ha che

\[ \alpha T^n v_k = \alpha T^{n-1} (Tv_k) = \alpha T^{n-1}(\lambda_k v_k ) = \dots = \alpha \lambda^n_k v_k \]

allora vale che

\[ 0= p(T) v_k = p(\lambda_k) v_k \quad \quad \forall k \in \mathbb{N} \]

Se $0$ non fosse un autovalore allora la successione dei $\lambda_k$ è composta da un numero infinito di valori distinti (la molteplicità di ogni autovalore non nullo è finita) e dunque $p$ avrebbe un numero infinito di zeri. Assurdo.

Quindi $0$ è un autovalore e abbiamo anche una (utile?) informazione: $\text{dim}(\text{ker}(T)) = \infty$

[Bremen000]

2.2

Come in 2.1, il polinomio $p$ mappa tutti gli autovalori di $T$ in $0$. Ma, siccome $p$ è positivo sul semiasse negativo, deve essere che tutti gli autovalori di $T$ sono non negativi che è equivalente a \( \langle Tx, x \rangle \ge 0 \) per ogni \( x \in H \).

Era facile ma non mi ricordavo quell'equivalenza, me l'hanno ricordata su MSE!

[Vincent46]

Esercizio 2:

Se $x$ è un autovettore di $T$ relativo all'autovalore $\lambda$, allora vale che $p(\lambda)x = 0$; vale a dire che $\lambda$ è radice di $p$. Quindi $T$ ha un numero finito di autovalori. Per compattezza di $T$, si conclude che $0$ è autovalore. Inoltre, dall'ipotesi su $p$, segue che $\lambda \geq 0$. Infine, poiché per operatori compatti lo spettro coincide con l'insieme degli autovalori (a meno al più dello $0$), si conclude che $T$ è un operatore positivo, in quanto autoaggiunto e avente spettro contenuto in $[0, \+infty)$.