Aiuto teoria dei giochi
Buonasera a tutti,
Vi pongo un quesito a cui non so dare risposta.
Io ho una equazione differenziale che mi descrive un gioco:
$\dot{y_1}=y_1(1-y_1)(y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2)$.
Trovo gli stati stazionari che sono $y_1=0$, $y_1=1$ e $y_2=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$.
Come faccio adesso a studiare la dinamica di questa equazione? Cosa devo fare? Grazie a chi mi aiuterà.
Vi pongo un quesito a cui non so dare risposta.
Io ho una equazione differenziale che mi descrive un gioco:
$\dot{y_1}=y_1(1-y_1)(y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2)$.
Trovo gli stati stazionari che sono $y_1=0$, $y_1=1$ e $y_2=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$.
Come faccio adesso a studiare la dinamica di questa equazione? Cosa devo fare? Grazie a chi mi aiuterà.
Risposte
Ti manca una equazione.
Si scusa, ma è nulla.
$\dot{y_2}=0$
Mi è stato detto che devo verificare quando $y_2$ è maggiore o minore di $\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$. Ma non capisco come devo fare
$\dot{y_2}=0$
Mi è stato detto che devo verificare quando $y_2$ è maggiore o minore di $\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$. Ma non capisco come devo fare
Beh, se $dot(y_2) = 0$ ed $y_2(0) = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, allora $y_2(t) = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$ per ogni $t>=0$... Dunque hai davvero poco da verificare.
Inoltre, le condizioni che riporti mi paiono sovrabbondanti per il problema che hai sotto mano; in altri termini, un sostiene di EDO del primo ordine con tre condizioni di solito non ha soluzioni, a meno che i dati non siano “compatibili”.
*** Edit: scusa, ho totalmente frainteso i tuoi post precedenti.
L’idea è quella di studiarsi il sistema:
\[
\begin{cases}
\dot{y_1}(t) = y_1(t)\ (1-y_1(t))\ (y_2(t) (\sigma_1 + \sigma_2) - \sigma_2)\\
\dot{y_2}(t) = 0\\
y_1(0) = \eta_1\\
y_2(0)=\eta_2
\end{cases}
\]
coi parametri $eta_1, eta_2 in RR$. Questo si fa né più né meno che come lo studio qualitativo delle singole EDO che si vede in esami di Analisi.
Dalla seconda equazione ricavi immediatamente che $y_2(t)=eta_2$ per ogni $t>=0$, dunque ti serve capire cosa succede alla soluzione della prima EDO al variare di $eta_2$.
Chiaramente, se $eta_2 = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, allora anche $y_1(t)$ è una funzione costante ed è determinata dal valore assunto in $0$.
Se $eta_2> sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$ allora la prima EDO è del tipo $dot(y_1) = C\ y_1(1-y_1)$ con $C>0$, quindi è molto semplice da studiare, e lo stesso accade nel caso $eta_2 < sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, poiché la EDO è essenzialmente dello stesso tipo ma con $C<0$.
Inoltre, le condizioni che riporti mi paiono sovrabbondanti per il problema che hai sotto mano; in altri termini, un sostiene di EDO del primo ordine con tre condizioni di solito non ha soluzioni, a meno che i dati non siano “compatibili”.
*** Edit: scusa, ho totalmente frainteso i tuoi post precedenti.
L’idea è quella di studiarsi il sistema:
\[
\begin{cases}
\dot{y_1}(t) = y_1(t)\ (1-y_1(t))\ (y_2(t) (\sigma_1 + \sigma_2) - \sigma_2)\\
\dot{y_2}(t) = 0\\
y_1(0) = \eta_1\\
y_2(0)=\eta_2
\end{cases}
\]
coi parametri $eta_1, eta_2 in RR$. Questo si fa né più né meno che come lo studio qualitativo delle singole EDO che si vede in esami di Analisi.
Dalla seconda equazione ricavi immediatamente che $y_2(t)=eta_2$ per ogni $t>=0$, dunque ti serve capire cosa succede alla soluzione della prima EDO al variare di $eta_2$.
Chiaramente, se $eta_2 = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, allora anche $y_1(t)$ è una funzione costante ed è determinata dal valore assunto in $0$.
Se $eta_2> sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$ allora la prima EDO è del tipo $dot(y_1) = C\ y_1(1-y_1)$ con $C>0$, quindi è molto semplice da studiare, e lo stesso accade nel caso $eta_2 < sigma_2/(sigma_1 + sigma_2)$, poiché la EDO è essenzialmente dello stesso tipo ma con $C<0$.
@Gugo: secondo me quelle del primo post non sono condizioni iniziali, sono le soluzioni costanti.
@anto: devi studiare la equazione differenziale \(y'=Cy(1-y),\) dove \(C\in\mathbb R\) è una costante. Sicuramente, a seconda del segno di \(C\) succederanno cose diverse. Quando hai finito, poni \(C= y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2\).
@anto: devi studiare la equazione differenziale \(y'=Cy(1-y),\) dove \(C\in\mathbb R\) è una costante. Sicuramente, a seconda del segno di \(C\) succederanno cose diverse. Quando hai finito, poni \(C= y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2\).
@dissonance: Sì, me ne sono accorto dopo... Ed ho editato il post.
Allora riporto il problema intero magari ho saltato qualcosa. Io ho una matrice di adiacenza che mi descrive il gioco a 3 giocatori su grafo.
\[ A=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & \mu \\
\mu & 0 & 2\mu \\
0 & \mu & 0
\end{bmatrix}
\]
dove $\mu \geq 0$.
Ora per $\mu>0$ l’ho verificato, devo vedere cosa succede per $\mu=0$, quindi la mia matrice diventa
\[ A=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\].
Ottengo come Replicator equation le seguenti
$\dot{y_1}=y_1(1-y_1)(y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2)$
$\dot{y_2}=0$
$\dot{y_3}=0$
Trovo gli stati stazionari e poi devo studiare la dinamica
\[ A=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & \mu \\
\mu & 0 & 2\mu \\
0 & \mu & 0
\end{bmatrix}
\]
dove $\mu \geq 0$.
Ora per $\mu>0$ l’ho verificato, devo vedere cosa succede per $\mu=0$, quindi la mia matrice diventa
\[ A=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\].
Ottengo come Replicator equation le seguenti
$\dot{y_1}=y_1(1-y_1)(y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2)$
$\dot{y_2}=0$
$\dot{y_3}=0$
Trovo gli stati stazionari e poi devo studiare la dinamica
In pratica il giocatore 2 interagisce con il primo, mentre il terzo con nessuno.
"gugo82":
L’idea è quella di studiarsi il sistema:
\[ \begin{cases} \dot{y_1}(t) = y_1(t)\ (1-y_1(t))\ (y_2(t) (\sigma_1 + \sigma_2) - \sigma_2)\\ \dot{y_2}(t) = 0\\ y_1(0) = \eta_1\\ y_2(0)=\eta_2 \end{cases} \]
coi parametri $ eta_1, eta_2 in RR $. Questo si fa né più né meno che come lo studio qualitativo delle singole EDO che si vede in esami di Analisi.
Dalla seconda equazione ricavi immediatamente che $ y_2(t)=eta_2 $ per ogni $ t>=0 $, dunque ti serve capire cosa succede alla soluzione della prima EDO al variare di $ eta_2 $.
Chiaramente, se $ eta_2 = sigma_2/(sigma_1 + sigma_2) $, allora anche $ y_1(t) $ è una funzione costante ed è determinata dal valore assunto in $ 0 $.
Se $ eta_2> sigma_2/(sigma_1 + sigma_2) $ allora la prima EDO è del tipo $ dot(y_1) = C\ y_1(1-y_1) $ con $ C>0 $, quindi è molto semplice da studiare, e lo stesso accade nel caso $ eta_2 < sigma_2/(sigma_1 + sigma_2) $, poiché la EDO è essenzialmente dello stesso tipo ma con $ C<0 $.
La traccia è questa... Sviluppala, cioè fai i conti.
Buongiorno a tutti,
Ho provato a risolvere la edo e mi viene così
$y(t)=\frac{e^(ct+d)}{1+e^(ct+d)}$
nel caso in cui $c>0$. Torna?
Ho provato a risolvere la edo e mi viene così
$y(t)=\frac{e^(ct+d)}{1+e^(ct+d)}$
nel caso in cui $c>0$. Torna?
Quindi mi verrebbe da dire che la mia $y$ per $c>0$ starà tra 0 e 1, mentre per $c<0$, che è l’opposto, sarà maggiore di 1. O dico una cavolata?
Potete darmi conferma o smentita di quello che ho affermato per favore?
Grazie
Grazie
"anto84gr":
Buongiorno a tutti,
Ho provato a risolvere la edo e mi viene così
$y(t)=\frac{e^(ct+d)}{1+e^(ct+d)}$
nel caso in cui $c>0$. Torna?
Secondo me questa soluzione vale anche per \(c\le 0\), l'unico problema è che se scrivi così allora stai considerando solo il caso \(y(t)\in [0, 1]\). (Infatti, non c'è nessun modo di scegliere \(d\) in modo tale che \(y(0)<0\) oppure \(y(0)>1\)). Ora non so se la condizione \(y\in[0,1]\) è implicita in quello che stai facendo perché non ho la minima idea di cosa sia la teoria dei giochi.
Nel seguito assumo che \(y(t)\in[0,1] \).
Quanto all'analisi qualitativa, effettivamente dici una cavolata: come detto sopra, quella famiglia di soluzioni verifica \(y(t)\in [0,1]\) indipendentemente dal segno di \(c\). Quello che puoi studiare è il *limite* per \(t\to \infty\) della soluzione, ed è quello che in genere si intende per "studiare la dinamica" di una EDO. E qui deve esserti facile concludere che se \(c<0\) allora il limite è \(0\), se \(c\ge 0\) allora il limite è \(1\).
Io quello che devo andare a fare è di studiare la dinamica dell’equazione.
Gli stati stazionari che ottengo li ricavo ponendo l’equazione uguale a zero, quindi $y_1=0$, $y_1=1$ e $y_2=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$.
Quell’equazione in teoria dei giochi si chiama Replicator equation e descrive il gioco che avviene tra 2 giocatori.
Ho risolto l’equazione come mi avete detto
Gli stati stazionari che ottengo li ricavo ponendo l’equazione uguale a zero, quindi $y_1=0$, $y_1=1$ e $y_2=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$.
Quell’equazione in teoria dei giochi si chiama Replicator equation e descrive il gioco che avviene tra 2 giocatori.
Ho risolto l’equazione come mi avete detto
Stai ripetendo cose che avevi già detto. Studiare la dinamica lo abbiamo fatto negli ultimi due post. Vedi il mio ultimo post, in particolare.
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