Proiezione ortogonale di un punto su una retta.

[TSUNAMI1]

Dato il punto $A(2,2,1)$ e la retta $\r={(4x + y - z = 2),(3x - z -3 = 0):}$ cioè data come intersezione di due piani:
- trovare la proiezione ortogonale $M$ di $A$ su $r$;
- trovare il simmetrico $A'$ di $A$ su $r$;
- trovare la distanza fra il punto $A$ e la retta $r$.

ho fatto un esercizio analogo con un piano al posto della retta e non ho avuto problemi. Con la retta non riesco bene a comportarmi, non so se prendere indistintamente una delle due norme di uno dei due piani oppure altro...

grazie a tutti!

[franced]

"TSUNAMI":Dato il punto $A(2,2,1)$ e la retta $\r={(4x + y - z = 2),(3x - z -3 = 0):}$ cioè data come intersezione di due piani:
- trovare la proiezione ortogonale $M$ di $A$ su $r$;
- trovare il simmetrico $A'$ di $A$ su $r$;
- trovare la distanza fra il punto $A$ e la retta $r$.

Prendi il piano $\pi$ passante per $A$ e ortogonale alla retta $r$ e trova l'intersezione $M = \pi \cap r$ .

[TSUNAMI1]

perfetto, ho messo a sistema il piano che contiene il punto $A$ e perpendicolare alla retta $r$ con la stessa retta e ho trovato il punto $M(1,-2,0)$

come faccio ora a trovare il simmetrico $A'$ rispetto a $A$?

grazie mille per l'aiuto.

[Camillo]

Considera che $M$ è il punto medio del segmento $ A A' $ e quindi :
$x_M=(x_A+x_(A'))/2 $
$y_M = ....$
$z_M=....$

[franced]

Un altro metodo alternativo per trovare la proiezione di un punto $P$ su una retta $r$ è il seguente:

ti parametrizzi la retta $r$ e cerchi il punto $Q$ sulla retta $r$ in modo tale che

$(OP - OQ) * v = 0$

dove $v$ è il vettore direttore di $r$.

[TSUNAMI1]

"franced":Un altro metodo alternativo per trovare la proiezione di un punto $P$ su una retta $r$ è il seguente:

ti parametrizzi la retta $r$ e cerchi il punto $Q$ sulla retta $r$ in modo tale che

$(OP - OQ) * v = 0$

dove $v$ è il vettore direttore di $r$.

perfetto, grazie mille

[franced]

"TSUNAMI":[quote="franced"]Un altro metodo alternativo per trovare la proiezione di un punto $P$ su una retta $r$ è il seguente:

ti parametrizzi la retta $r$ e cerchi il punto $Q$ sulla retta $r$ in modo tale che

$(OP - OQ) * v = 0$

dove $v$ è il vettore direttore di $r$.

perfetto, grazie mille[/quote]

Prego.