Proiezione ortogonale- spazi vettoriali euclidei

[zoso89-votailprof]

salve a tutti, ho trovato questo esercizio in un tema d'esame:

Nello spazio $RR^4$, reso euclideo col prodotto scalare standard, sono dati il sottospazio $U$ $=$ ${(x1; x2; x3; x4)$ $in$
$RR^4$$|x_1 + x_2 = x_3 - x_4 = 0$$}$ e il vettore $v$ $= (0; 1; 0; 2)$. Determinare il vettore $u$ del sottospazio $U$ che ha da $v$
distanza minima (cioè tale che $||u-v||$ sia minima).

Ho provato a risolverlo facendo la proiezione ortogonale di un vettore generico sul vettore $v$ ma non so se è corretto.
sapreste aiutarmi?
Grazie in anticipo!!!

[franced]

Il problema può essere risolto in più modi:
uno di questi è il metodo del sistema normale.

Ora devo uscire, quando torno scrivo un messaggio con la soluzione completa.
Ciao!

[zoso89-votailprof]

Ok grazie, gentilissimo!
Buona serata!!

[franced]

"zoso89":
Nello spazio $RR^4$, reso euclideo col prodotto scalare standard, sono dati il sottospazio $U$ $=$ ${(x1; x2; x3; x4)$ $in$
$RR^4$$|x_1 + x_2 = x_3 - x_4 = 0$$}$ e il vettore $v$ $= (0; 1; 0; 2)$. Determinare il vettore $u$ del sottospazio $U$ che ha da $v$
distanza minima (cioè tale che $||u-v||$ sia minima).

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Primo metodo.

Prendiamo una base per $U$:

$((1),(-1),(0),(0))$ ; $((0),(0),(1),(1))$

cerchiamo una combinazione lineare

$u = lambda_1 ((1),(-1),(0),(0)) + lambda_2 ((0),(0),(1),(1))$

in modo tale che $u$ abbia distanza minima da $v = ((0),(1),(0),(2))$.

Il sistema normale è il seguente:

$((1,0),(-1,0),(0,1),(0,1))^T ((1,0),(-1,0),(0,1),(0,1)) ((\lambda_1),(\lambda_2)) = ((1,0),(-1,0),(0,1),(0,1))^T ((0),(1),(0),(2))$

e quindi

$((2,0),(0,2)) ((\lambda_1),(\lambda_2)) = ((-1),(2))$

da cui

${(lambda_1 = -1/2),(lambda_2 = 1):}$ ;

in definitiva il vettore $u$ è il seguente:

$u = -1/2 * ((1),(-1),(0),(0)) + 1 * ((0),(0),(1),(1)) = ((-1/2),(1/2),(1),(1))$ .




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Secondo metodo (analogo al metodo che ho esposto qualche giorno fa, se ti ricordi..):

scelgo questa base di $R^4$:

$((1),(-1),(0),(0))$ ; $((0),(0),(1),(1))$ ; $((1),(1),(0),(0))$ ; $((0),(0),(1),(-1))$

(si tratta di una base di vettori ortogonali) e scrivo il vettore $v$ come combinazione
lineare:

$v = x_1 ((1),(-1),(0),(0)) + x_2 ((0),(0),(1),(1)) + x_3 ((1),(1),(0),(0)) + x_4 ((0),(0),(1),(-1))$

si trovano i risultati

${(x_1 = -1/2),(x_2 = 1),(x_3 = 1/2),(x_4 = -1):}$

a questo punto il vettore proiezione $u$ si ottiene in questo modo (si trascurano $x_3$ e $x_4$):

$u = x_1 ((1),(-1),(0),(0)) + x_2 ((0),(0),(1),(1)) = -1/2 * ((1),(-1),(0),(0)) + 1 * ((0),(0),(1),(1)) = ((-1/2),(1/2),(1),(1))$ .




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Terzo metodo.

Scrivo il vettore $u$

$u = lambda_1 ((1),(-1),(0),(0)) + lambda_2 ((0),(0),(1),(1))$

e scrivo la distanza dal vettore $v$:

$|| u - v ||^2 = (lambda1-0)^2+(-lambda1-1)^2+(lambda2-0)^2+(lambda2-2)^2$

e trovo il punto di minimo: si trovano gli stessi risultati:

${(lambda_1 = -1/2),(lambda_2 = 1):}$ .

[zoso89-votailprof]

ok ho capito grazie mille

[franced]

"zoso89":ok ho capito grazie mille

Prego.

Per curiosità, quale metodo preferisci?

[zoso89-votailprof]

Il secondo metodo.

[TSUNAMI1]

Dato il punto $A(2,2,1)$ e la retta $\r={(4x + y - z = 2),(3x - z -3 = 0):}$ cioè data come intersezione di due piani:
- trovare la proiezione ortogonale $M$ di $A$ su $r$;
- trovare il simmetrico $A'$ di $A$ su $r$;
- trovare la distanza fra il punto $A$ e la retta $r$.

ho fatto un esercizio analogo con un piano al posto della retta e non ho avuto problemi. Con la retta non riesco bene a comportarmi, non so se prendere indistintamente una delle due norme di uno dei due piani oppure altro...

grazie a tutti!

[franced]

Scusami, ma perché non apri un nuovo messaggio?

[TSUNAMI1]

"franced":Scusami, ma perché non apri un nuovo messaggio?

hai ragione, chiedo scusa.

[franced]

"zoso89":Il secondo metodo.

Io invece preferisco il terzo, detto anche il metodo della "forza bruta"...