Combinazione lineare in base ortonormale

[manuxy84]

Qualcosa mi sfugge nel passaggio di una dimostrazione: in $RR^3$ abbiamo una base ortonormale formata dai vettori ${T, N, B}$.
I moduli dei tre vettori sono unitari.
Sappiamo da un lemma che $N'$ è ortogonale ad $N$ in quanto $N$ ha modulo costante, quindi $N'$ deve essere combinazione lineare di $T$ e $B$ (perchè??? perchè essendo $N'$ ortogonale ad $N$ risulta complanare a $T$ e $B$ ?)

Dato che la terna di vettori ${T, N, B}$ è ortonormale possiamo scrivere
$N' = [N'*T] T + [N'*B] B$ (dove $*$ indica il prodotto scalare)

perchè??? Non riesco a capire...

[franced]

"manuxy84":
in $RR^3$ abbiamo una base ortonormale formata dai vettori ${T, N, B}$.
I moduli dei tre vettori sono unitari.
Sappiamo da un lemma che $N'$ è ortogonale ad $N$ in quanto $N$ ha modulo costante, quindi $N'$ deve essere combinazione lineare di $T$ e $B$ (perchè??? perchè essendo $N'$ ortogonale ad $N$ risulta complanare a $T$ e $B$ ?)

Prova ad immaginare questa situazione: hai i vettori $i,j,k$ della base canonica ($k$ genera l'asse $z$),
se $k'$ è ortogonale a $k$ significa che $k'$ sta nel piano $xy$, ovvero è esprimibile come combinazione
lineare di $i$ e $j$. Ti torna con questa visione?

"manuxy84":
Dato che la terna di vettori ${T, N, B}$ è ortonormale possiamo scrivere
$N' = [N'*T] T + [N'*B] B$ (dove $*$ indica il prodotto scalare)

perchè??? Non riesco a capire...

Quando hai una base ortonormale, le coordinate di un vettore si ottengono proprio nel modo che hai scritto.
Dimostrazione:

$N' = x_1 T + x_2 B$

moltiplico scalarmente per $T$:

$$ $=$ $$ $=$ $ + $ = $x_1 + x_2 $ = $x_1 * 1 + x_2 * 0$

quindi

$x_1 = $ .

In modo del tutto analogo, moltiplicando scalarmente per $B$, trovi $x_2 = $ .

Spero di essere stato chiaro..

[manuxy84]

Non potevi essere più chiaro.
Grazie

[franced]

"manuxy84":Non potevi essere più chiaro.
Grazie

Non esageriamo!