Esercizio segnatura con parametro

[Samy211]

Salve a tutti,

sto cercando di svolgere questo esercizio

Sia $h in \mathbb{R}$ un parametro e sia
$A_h = ((h,0,h,0),(0,h,h,1),(h,h,h,h),(0,1,h,h)) in R^(4,4)$ .
Determinare la segnatura di $A_h$ al variare di $h$.

Sto cercando di risolverlo mediante la diagonalizzazione. Il mio prof odia il sistema dei minori principali quindi, sebbene sia il più "semplice" ho deciso di usarlo solo in casi disperati ed imparare gli altri.

Procedo a calcolare la base ortogonale. Considero il vettore $v_1=(1,0,0,0)$ e

$(1,0,0,0)((h,0,h,0),(0,h,h,1),(h,h,h,h),(0,1,h,h))((v_1),(v_2),(v_3),(v_4))=(h,0,h,0)((v_1),(v_2),(v_3),(v_4))=hv_1+hv_3$

e da questa ricavo che, per $h!=0$, $v_1=-v_3$.
Sia adesso $v_2=(-v_3,v_2,v_3,v_4)$ e scelgo $v_2=(-1,0,1,0)$

$(-1,0,1,0)((h,0,h,0),(0,h,h,1),(h,h,h,h),(0,1,h,h))((-v_3),(v_2),(v_3),(v_4))=(0,h,0,h)((-v_3),(v_2),(v_3),(v_4))=hv_2+hv_4$

e anche in questo caso, per $h!=0$ ricavo che $v_2=-v_4$.
Sia adesso $v_3=(0,-v_4,0,v_4)$ e scelgo $v_3=(0,-1,0,1)$
$(0,-1,0,1)((h,0,h,0),(0,h,h,1),(h,h,h,h),(0,1,h,h))((0),(-v_4),(0),(v_4))=(0,-h+1,0,-1+h)((0),(-v_4),(0),(v_4))=(-2+2h)v_4$

e segue che $v_4=0$.
Ottengo così che la base ortogonale è ${(1,0,0,0),(-1,0,1,0),(0,-1,0,1)}$ ma reputo sia incompleta dato che dovrebbero esserci 4 elementi. Posso aggiungere, per esempio, $(0,0,0,1)$?

Fin quì va bene? Grazie a tutti.

[Samy211]

Nessuno può aiutarmi?

[Bokonon]

Chiamando H la forma bilineare simmetrica, la prima cosa da fare e calcolare $det(H)=0$ e scopri che il suo radicale/kernel ha dimensione $>0$ quando $h=0,1$
Queste due casisitiche vanno analizzate a parte col metodo classico e dove necessario usando la regola di cartesio (per $h=1$). I risultati li riporto dopo.

4 vettori ortogonali per $h!=0,1$ sono:
$v_1 = <1,0,0,0>$ e l'energia $v_1^THv_1=h$
$v_2 = <0,1,0,0>$ e l'energia $v_2^THv_2=h$
$v_3 = <1,1,-1,0>$ e l'energia $v_3^THv_3=-h$
$v_4 = <-h^2(1-h),h^3,h^2(1-h),-h^3>$ e l'energia $v_2^THv_2=2h^6(1-h)$

Per $h=0$ la segnatura è $(1,1,2)$
Per $h=1$ la segnatura è $(2,1,1)$

Dalle energie invece:
Per $h<0$ la segnatura è $(1,3,0)$
Per $0 Per $h>1$ la segnatura è $(3,1,0)$

A me pare un esercizio folle e se non ho scritto come ho dedotto il tutto è perchè richiede un papiro.
Se vuoi capire a fondo il metodo di Lagrange devi prima studiarlo. Uno dei requisiti (naturali) è che un vettore della base non possa essere un vettore isotropo (altrimenti l'energia è sempre 0).
Il vettore $v_2=<-1,0,1,0>$ che hai scelto è isotropo, infatti $v_2^THv_2=0$
Avresti dovuto scartarlo.

[Samy211]

Grazie per la risposta, avevo ormai perso le speranze.

"Bokonon":Se vuoi capire a fondo il metodo di Lagrange devi prima studiarlo. Uno dei requisiti (naturali) è che un vettore della base non possa essere un vettore isotropo (altrimenti l'energia è sempre 0).

Lo rivedrò nei prossimi giorni, grazie.

[alessio761]

Immagino che il tuo prof non abbia spiegato come studiare la segnatura mediante una versione "simmetrica" della riduzione a scala di Gauss (in qualche testo chiamato "metodo di Lagrange", ma la terminologia non è standard)...altrimenti non mi spiego il male che ti stai facendo...

[Samy211]

"alessio76":...altrimenti non mi spiego il male che ti stai facendo...

Non me lo so spiegare nemmeno io , dagli appunti dei colleghi non trovo questo sistema ma boh.

[alessio761]

in ogni caso un po' di conti andrebbero fatti comunque: ogni operazione elementare per righe va rifatta per colonne per mantenere la simmetria e in qualche caso occorre sommare due righe, e poi le corrispondenti due colonne, per evitare che l'algoritmo vada in loop, alla fine si ottiene una matrice che è solo congruente[nota]Una matrice reale nxn B si dice congruente a una matrice reale nxn A se esiste una matrice invertibile Q tale che $B= Q^T AQ$[/nota] alla matrice di partenza, ma matrici congruenti hanno la stessa segnatura, quindi saresti a posto...(ovviamente non ci sono relazioni di parentela con gli autovalori, se non i segni...)