Esiste un'applicazione lineare che mappa \( l_i\mapsto m_i \) se gli \( l_i \) e gli \( m_i \) sono in ugual numero
Ciao. Vale in generale che data una funzione \( f\colon X\to S^\prime \) di un generatore \( X \) di un semigruppo \( S \) in un semigruppo \( S^\prime \), se esiste un omomorfismo \( \tilde f\colon S\to S^\prime\) tale che
commuti, allora \( \tilde f \) è unico, dove \( \iota_X\colon X\to S \) è l'applicazione di inclusione. In altre parole: se c'è, un omomorfismo \( S\to S^\prime \) che ristretto a \( X \) sia uguale a \( f \) è unico.
Una cosa analoga vale in per uno spazio vettoriale \( L \) generato dai vettori \( l_1\dots,l_n \): scelti \( m_1\dots,m_n\in M \) (non necessariamente distinti) in uno spazio \( M \), l'esistenza di un'applicazione lineare \( L\to M \) che mappi \( l_i\mapsto m_i \) implica che essa è unica.
Un'applicazione lineare del genere esiste sicuramente se gli \( l_1,\dots,l_n \) sono anche linearmente indipendenti. Ma perché il mio testo richiede - sia per l'esistenza, che per l'unicità - che le due famiglie di vettori \( \left\{l_1,\dots,l_n\right\} \) e \( \left\{m_1,\dots,m_n\right\} \) abbiano lo stesso numero di elementi?
Così la prima parte di questo risultato (se esiste \( \tilde f \) lineare che [...], allora è unica) smette di essere un corollario della proposizione generale. Tra l'altro - se non mi sono rincretinito - è una condizione superflua anche per la seconda parte della proposizione...
edit: Non si capiva nulla, c'erano delle cose proprio sbagliate. Corretto.
[tex]\xymatrix{X\ar[dr]_{f}\ar@{^{(}->}[r]^{\iota_X} & S\ar[d]_{\tilde f}\\ & S^\prime}[/tex]
commuti, allora \( \tilde f \) è unico, dove \( \iota_X\colon X\to S \) è l'applicazione di inclusione. In altre parole: se c'è, un omomorfismo \( S\to S^\prime \) che ristretto a \( X \) sia uguale a \( f \) è unico.
Una cosa analoga vale in per uno spazio vettoriale \( L \) generato dai vettori \( l_1\dots,l_n \): scelti \( m_1\dots,m_n\in M \) (non necessariamente distinti) in uno spazio \( M \), l'esistenza di un'applicazione lineare \( L\to M \) che mappi \( l_i\mapsto m_i \) implica che essa è unica.
Un'applicazione lineare del genere esiste sicuramente se gli \( l_1,\dots,l_n \) sono anche linearmente indipendenti. Ma perché il mio testo richiede - sia per l'esistenza, che per l'unicità - che le due famiglie di vettori \( \left\{l_1,\dots,l_n\right\} \) e \( \left\{m_1,\dots,m_n\right\} \) abbiano lo stesso numero di elementi?
Così la prima parte di questo risultato (se esiste \( \tilde f \) lineare che [...], allora è unica) smette di essere un corollario della proposizione generale. Tra l'altro - se non mi sono rincretinito - è una condizione superflua anche per la seconda parte della proposizione...
edit: Non si capiva nulla, c'erano delle cose proprio sbagliate. Corretto.
Risposte
"marco2132k":
Ciao. Vale in generale che data una funzione \( f\colon S\to S^\prime \) di un generatore di un semigruppo \( S \) in un semigruppo \( S^\prime \), se esiste un omomorfismo \( \tilde f\colon S\to S^\prime \) tale che \( \tilde f{\restriction_E} = f \), allora \( \tilde f \) è unico.
Eh?!?
Inoltre questo tirare in ballo i *semigruppi* mi sembra un complicare le cose per il gusto di farlo.
Ho risolto l'arcano: le famiglie di vettori sono - detto in modo più decente - tuple di vettori. Quindi è giusto che debbano avere lo stesso numero di elementi.
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