Superfici irriducibili
Salve a tutti,
volevo sottoporvi questo esercizio che ho risolto per capire se ho fatto errori.
$S in \mathbb(A)^3$ in $\mathbb(C)$ superficie avente equazione $(x^2+y^2+z^2-2)^2-4(1-x^2)(1-y^2)=0$.
a) Studiarne l'irriducibilità
b) Determinare gli eventuali punti singolari e le rispettive molteplicità.
a) Ho dei dubbi sull'irriducibilità perchè noto che il polinomio dato è già fattorizzato ma siccome non vorrei fare errori (e probabilmente li ho fatti) allora mi complico la vita effettuando i conti e ricavando così un polinomio di grado 4 $x^4+y^4+z^4-2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2-4z^2=0$.
Qualsiasi incognita scelgo è di 4 grado così scelgo z e, effettuando la sostituzione pari a $z^2=t$ ottengo un polinomio di secondo grado $t^2+2(x^2+y^2-2)t+(x^4+y^4-2x^2y^2)$. Posso pertanto usare la regola del delta per capire se il polinomio, e quindi la superficie, è irriducibile.
Devo quindi provare che
-il delta non è un quadrato perfetto, ed è vero perchè ottengo $x^2+y^2-x^2y^2-1$
-tra i coefficienti non ci sono fattori comuni.
Posso quindi concludere che la curva è irriducibile.
b) Dopo aver calcolato le derivate prime e il relativo sistema, ottengo 4 candidati punti singolari:
$P_0=(1:1:0)$, $P_1=(1:-1:0)$, $P_2=(0:0:\sqrt2)$, $P_3=(0:0:-\sqrt2)$
Verifico se sono punti singolari vedendo se appartengono alla curva e se annullano le derivate prime.
Facendo questi conti quindi verifico che solo i primi due punti sono singolari ed entrambi hanno molteplicità 2, cioè sono punti singolari doppi.
E' corretto? C'è un metodo più veloce e diretto per calcolare l'irriducibilità?
Grazie mille a tutti.
volevo sottoporvi questo esercizio che ho risolto per capire se ho fatto errori.
$S in \mathbb(A)^3$ in $\mathbb(C)$ superficie avente equazione $(x^2+y^2+z^2-2)^2-4(1-x^2)(1-y^2)=0$.
a) Studiarne l'irriducibilità
b) Determinare gli eventuali punti singolari e le rispettive molteplicità.
a) Ho dei dubbi sull'irriducibilità perchè noto che il polinomio dato è già fattorizzato ma siccome non vorrei fare errori (e probabilmente li ho fatti) allora mi complico la vita effettuando i conti e ricavando così un polinomio di grado 4 $x^4+y^4+z^4-2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2-4z^2=0$.
Qualsiasi incognita scelgo è di 4 grado così scelgo z e, effettuando la sostituzione pari a $z^2=t$ ottengo un polinomio di secondo grado $t^2+2(x^2+y^2-2)t+(x^4+y^4-2x^2y^2)$. Posso pertanto usare la regola del delta per capire se il polinomio, e quindi la superficie, è irriducibile.
Devo quindi provare che
-il delta non è un quadrato perfetto, ed è vero perchè ottengo $x^2+y^2-x^2y^2-1$
-tra i coefficienti non ci sono fattori comuni.
Posso quindi concludere che la curva è irriducibile.
b) Dopo aver calcolato le derivate prime e il relativo sistema, ottengo 4 candidati punti singolari:
$P_0=(1:1:0)$, $P_1=(1:-1:0)$, $P_2=(0:0:\sqrt2)$, $P_3=(0:0:-\sqrt2)$
Verifico se sono punti singolari vedendo se appartengono alla curva e se annullano le derivate prime.
Facendo questi conti quindi verifico che solo i primi due punti sono singolari ed entrambi hanno molteplicità 2, cioè sono punti singolari doppi.
E' corretto? C'è un metodo più veloce e diretto per calcolare l'irriducibilità?
Grazie mille a tutti.
Risposte
Giusto per cronaca: detto \(\displaystyle\mathbb{C}\) l'anello (noetheriano) delle coordinate di tale superficie, hai che questo non è un UFD, poiché ivi sarebbe
\[
(x^2+y^2+z^2-2)^2=4(1-x^2)(1-y^2)
\]
ovvero un elemento sarebbe scomponibile in \(\displaystyle2\) modi distinti; in particolare, esiste un ideale primo di altezza \(\displaystyle1\) (in \(\displaystyle\mathbb{C}\)) che non è principale.
Se tu ponessi:
\[
\begin{cases}
X^2=x^2-1\\
Y^2=y^2-1
\end{cases}
\]
cosa accadrebbe?
\[
(x^2+y^2+z^2-2)^2=4(1-x^2)(1-y^2)
\]
ovvero un elemento sarebbe scomponibile in \(\displaystyle2\) modi distinti; in particolare, esiste un ideale primo di altezza \(\displaystyle1\) (in \(\displaystyle\mathbb{C}
Se tu ponessi:
\[
\begin{cases}
X^2=x^2-1\\
Y^2=y^2-1
\end{cases}
\]
cosa accadrebbe?
"j18eos":
Se tu ponessi:
\[
\begin{cases}
X^2=x^2-1\\
Y^2=y^2-1
\end{cases}
\]
cosa accadrebbe?
Otterrei
$(X^2+Y^2+z^2)^2=-4X^2Y^2(X^2+2)(Y^2+2)$
e non reputo sia riducibile.
Veramente otterresti
\[
(X^2+Y^2+z^2)^2-4X^2Y^2=0
\]
...
\[
(X^2+Y^2+z^2)^2-4X^2Y^2=0
\]
...
Quindi è riducibile dato che anche il secondo fattore è un quadrato.
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