Applicazioni lineari in campo complesso
Ciao, ho davanti questo esercizio in cui usando la definizione di applicazione lineare bisogna
capire se la seguente, è un' applicazione lineare o no.
$\psi$: $C^oo$($RR$) $\to$ $C^oo$($RR$)
$\psi$ ($f (x)$)=($f(x)^{\prime}$- $x*f(x)^{\prime}' $)
Per risolverlo so di dover verificare:
1. che $\psi$(0)=0
2. $\psi$($f(x)^1$ + $f(x)^2$) = $\psi$($f(x)^1$) + $\psi$($f(x)^2$)
3. $\lambda$$\psi$($f(x)$)=$\psi$($\lambda$ $f(x)$)
Ma non so trattare i campi complessi e non trovo dispense con cui chiarirmi le idee.
Ho trovato anche esercizi $f$:$CC$ $\to$ $RR$ e volevo chiede se qualcuno potesse spiegarmi
come affrontare questo tipo di esercizi e quali differenze comportano rispetto alle normali applicazioni
da $RR$ a $RR$, magari usando questo esercizio come esempio.
In assenza di tempo mi accontento anche di link a dispense varie.
Grazie.
capire se la seguente, è un' applicazione lineare o no.
$\psi$: $C^oo$($RR$) $\to$ $C^oo$($RR$)
$\psi$ ($f (x)$)=($f(x)^{\prime}$- $x*f(x)^{\prime}' $)
Per risolverlo so di dover verificare:
1. che $\psi$(0)=0
2. $\psi$($f(x)^1$ + $f(x)^2$) = $\psi$($f(x)^1$) + $\psi$($f(x)^2$)
3. $\lambda$$\psi$($f(x)$)=$\psi$($\lambda$ $f(x)$)
Ma non so trattare i campi complessi e non trovo dispense con cui chiarirmi le idee.
Ho trovato anche esercizi $f$:$CC$ $\to$ $RR$ e volevo chiede se qualcuno potesse spiegarmi
come affrontare questo tipo di esercizi e quali differenze comportano rispetto alle normali applicazioni
da $RR$ a $RR$, magari usando questo esercizio come esempio.
In assenza di tempo mi accontento anche di link a dispense varie.
Grazie.
Risposte
Ciao! Anzitutto va chiarito che $C^\infty(\mathbb R)$ NON è un insieme sul campo complesso, bensì è l'insieme delle funzioni $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue e con tutte le derivate continue (ad esempio $f(x)=e^x$ vi appartiene, così come i polinomi).
Ed è uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb R$ con la somma $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ e il prodotto per scalare $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$
Ora la tua $\psi$ prende una funzione $f\in C^\infty(\mathbb R)$ e le associa $\psi(f(x))=f'(x)-xf'(x)$, dove con $f'$ intendiamo la derivata prima di $f$.
Vediamo che tale $\psi$ è lineare come funzione tra spazi vettoriali:
1) con 0 intendiamo la funzione $0(x)=0, \forall x $, per cui:
$\psi(0(x))=0'(x)-x0'(x)$, ma 0 è una funzione costante, per cui la sua derivata è nulla cioè $0'(x)=0(x)$, quindi $\psi(0(x))=0(x)$
2) siano $f,g\in C^\infty(\mathbb R)$, allora:
$\psi((f+g)(x))=(f+g)'(x)-x(f+g)'(x)$. Poichè la derivata è lineare nella somma, cioè $(f+g)'=f'+g'$, ho la tesi
3) poichè $C^\infty(\mathbb R)$ è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali, dati $\lambda\in\mathbb R,\ f\in C^\infty(\mathbb R)$, abbiamo:
$\psi((\lambda f)(x))=(\lambda f)'(x)-x(\lambda f)'(x)$.
Poichè la derivata è un operatore lineare, vale $(\lambda f)'=\lambda f'$, da cui la tesi.
La difficoltà dell'esercizio sta nel capire che $C^\infty(\mathbb R)$ è uno spazio di funzioni e non di numeri o vettori.
Ed è uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb R$ con la somma $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ e il prodotto per scalare $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$
Ora la tua $\psi$ prende una funzione $f\in C^\infty(\mathbb R)$ e le associa $\psi(f(x))=f'(x)-xf'(x)$, dove con $f'$ intendiamo la derivata prima di $f$.
Vediamo che tale $\psi$ è lineare come funzione tra spazi vettoriali:
1) con 0 intendiamo la funzione $0(x)=0, \forall x $, per cui:
$\psi(0(x))=0'(x)-x0'(x)$, ma 0 è una funzione costante, per cui la sua derivata è nulla cioè $0'(x)=0(x)$, quindi $\psi(0(x))=0(x)$
2) siano $f,g\in C^\infty(\mathbb R)$, allora:
$\psi((f+g)(x))=(f+g)'(x)-x(f+g)'(x)$. Poichè la derivata è lineare nella somma, cioè $(f+g)'=f'+g'$, ho la tesi
3) poichè $C^\infty(\mathbb R)$ è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali, dati $\lambda\in\mathbb R,\ f\in C^\infty(\mathbb R)$, abbiamo:
$\psi((\lambda f)(x))=(\lambda f)'(x)-x(\lambda f)'(x)$.
Poichè la derivata è un operatore lineare, vale $(\lambda f)'=\lambda f'$, da cui la tesi.
La difficoltà dell'esercizio sta nel capire che $C^\infty(\mathbb R)$ è uno spazio di funzioni e non di numeri o vettori.
Grazie mille.
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