Orbite di $GL(V)$
Come da titolo, vorrei dimostrare che le orbite dell'azione del gruppo $GL(V)$ degli automorfismi di uno spazio vettoriale non nullo $V$ sono $\{0\}$ e $V-\{0\}$.
$\{0\}$ è un'orbita perché ogni automorfismo di $V$ fissa lo 0.
Per quanto riguarda $V-\{0\}$, vorrei imitare il caso $\dim V$ finita.
Prendo $u,v\ne0$ e completo $\{u\}$ e $\{v\}$ a due basi $(u_{i})_{i\in I}$, $(v_{i})_{i\in I}$ di $V$. Ora vorrei estendere la mappa
\[
\phi(v_{i})=u_{i} \qquad i\in I
\]
ad un'applicazione lineare $\phi: V\to V$. Poiché $\phi$ manda una base in un base, $\phi$ è un automorfismo e, per costruzione, manda $v$ in $u$.
Se l'idea è giusta, l'unica difficoltà è estendere quella mappa. Probabilmente si userà il lemma di Zorn ma come?
Grazie in anticipo.
$\{0\}$ è un'orbita perché ogni automorfismo di $V$ fissa lo 0.
Per quanto riguarda $V-\{0\}$, vorrei imitare il caso $\dim V$ finita.
Prendo $u,v\ne0$ e completo $\{u\}$ e $\{v\}$ a due basi $(u_{i})_{i\in I}$, $(v_{i})_{i\in I}$ di $V$. Ora vorrei estendere la mappa
\[
\phi(v_{i})=u_{i} \qquad i\in I
\]
ad un'applicazione lineare $\phi: V\to V$. Poiché $\phi$ manda una base in un base, $\phi$ è un automorfismo e, per costruzione, manda $v$ in $u$.
Se l'idea è giusta, l'unica difficoltà è estendere quella mappa. Probabilmente si userà il lemma di Zorn ma come?
Grazie in anticipo.
Risposte
Hai già usato il lemma di Zorn per trovare le basi. Ora un modo di operare è dividere la discussione in due casi: se $u$ è un multiplo scalare di $v$, o se alternativamente $u,v$ sono linearmente indipendenti.
Nel primo caso, completa a una base l'insieme \(\{u\}\) con un po' di vettori, manda u un v e agisci come l'identità altrove.
Nel secondo caso, diciamo che \(V = \langle u\rangle \oplus U = \langle v\rangle \oplus U'\): una qualsiasi base di $U$, mandata in una qualsiasi base di $U'$, fa il lavoro.
Nel primo caso, completa a una base l'insieme \(\{u\}\) con un po' di vettori, manda u un v e agisci come l'identità altrove.
Nel secondo caso, diciamo che \(V = \langle u\rangle \oplus U = \langle v\rangle \oplus U'\): una qualsiasi base di $U$, mandata in una qualsiasi base di $U'$, fa il lavoro.
Grazie per la risposta.
Nel primo caso, posto $u=\lambda v$, stai dicendo che posso prendere $\phi:V\to V$ definita come $\phi(x)=\lambda x$ se $x\in \langle v\rangle$ e $\phi(x)=x$ altrove.
Nel secondo caso, correggimi se sbaglio, scelgo un isomorfismo $f:U\to U'$ e lo "incollo" all'applicazione lineare $g: \langle v\rangle\to \langle u\rangle$, $g(v)=u$
Giusto?
Nel primo caso, posto $u=\lambda v$, stai dicendo che posso prendere $\phi:V\to V$ definita come $\phi(x)=\lambda x$ se $x\in \langle v\rangle$ e $\phi(x)=x$ altrove.
Nel secondo caso, correggimi se sbaglio, scelgo un isomorfismo $f:U\to U'$ e lo "incollo" all'applicazione lineare $g: \langle v\rangle\to \langle u\rangle$, $g(v)=u$
Giusto?
Un modo alternativo un po' più pulito: gli isomorfismi in \(\hom_k(V,V)\) corrispondono alle biiezioni \(\text{Aut}(B)\) se \(B \subset V\) è una base di \(V\). Ma allora ti basta dimostrare che è il gruppo simmetrico di \(B\) ad agire transitivamente su \(B\).
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