Teorema di esistenza e di unicità.

[Pasquale 90]

Buongiorno, vorrei discutere alcuni aspetti del seguente teorema:

Enunciato:

Considerati due spazi vettoriali $V_n(K)\,\V_m(K)$ di dimensione $n,m$ rispettivamente.
Sia $R=(e_1\,\e_2\,\...\,\e_n)$ riferimento di $V_n$ e $W={w_1\,\w_2\,\...\,\w_n}$ sistema di ordine $n$ di $V_m$.
Esiste un'unica applicazione lineare $f:V_n\to\V_m$ ponendo $f(e_i)=w_i$ per ogni $i=1\,\2\,\...\,\n.$

Dimostrazione:

La dimostrazione è divisa in più parti: determinazione della funzione, linearità, unicità.

1) Determinazione della funzione:
Si consideri il vettore $v in V_n$ e $C_R$ l'isomorfismo coordinato di $V_n$ associato al riferimento $R$, quindi, $C_R(v)=(x_1\,\x_2\,\...\,\x_n),$ è univocamente determinato il vettore $x_1w_1+x_2w_2+...+x_nw_n$ di $V_m$ e quindi si può definire l'applicazione lineare $f:V_n\to\V_m$ ponendo $f(v)=x_1w_1+x_2w_2+...+x_nw_n$.


Mi chiedo perché è univocamente determinato il vettore $ x_1w_1+x_2w_2+...+x_nw_n$ ?
Mi sono risposto cosi: poiché $C_R(v)$ è un isomorfismo ossia, è una funzione lineare biiettiva, quindi, ad ogni vettore $v$ associa una ed una sola n-upla di scalari $(x_1\,\x_2\,\...\,\x_n)$.....da quì non saprei continuare.

[gugo82]

Hai mai incontrato combinazioni lineari che producono più di un risultato?

[solaàl]

Forse alla risposta di sopra manca qualcosa: dimostra che se \(X=\{x_1,\dots,x_n\}\) è un insieme, due funzioni \(f,g : X \to W\), con $W$ spazio vettoriale di tuo gusto, definiscono due funzioni \(\bar f,\bar g : K^n \to W\), dove \(K^n\) è lo spazio vettoriale generato dalla base \(X\); se, ora \(f=g\), allora \(\bar f = \bar g\).

[Pasquale 90]

"gugo82":Hai mai incontrato combinazioni lineari che producono più di un risultato?

Ovviamente no mi inganna il fatto che si debba prendere l'isomorfismo per poter dire che è univocamente determinato.

Forse si voleva dire :
$x_1w_1+...+x_nw_n$ è univocamente determinato poiché l'isomorfismo $C_R(v)$ associa a $v$ l'unica n-upla $(x_1,...,x_n)$ delle componenti di $v$ nel riferimento $R$, cioè, ci assicura l'esistenza e l'unicità delle componenti di $v$ nel riferimento $R$, cosicché $f$ è ben posta.

Giusto ?

[gugo82]

Beh, sì.
L'idea è che $v$ determina univocamente le sue coordinate, le quali determinano univocamente la combinazione lineare d'arrivo.