Chiusura palla aperta in $R^n$

[cianfa72]

Ciao,

scusate il dubbio banale....prendiamo un aperto $A$ in $R^n$ con la topologia standard. Essendo $A$ aperto esso contiene un palla aperta $B$. Consideriamo quindi la palla chiusa $\bar B$.

Come possiamo mostrare che $\bar B sub A$ ? In altre parole come possiamo mostrare che la chiusura di B appartiene ad $A$ ?

grazie

[hydro1]

Così come è scritto, è falso. Se $A$ è una palla aperta e prendi $B=A$ allora $\overline{B}$ non è contenuto in $A$. Invece è vero che esiste una palla aperta $B\subset A$ tale che $\overline{B}$ è contenuto in $A$: prendi una palla aperta $C\subset A$; per definizione questa è il luogo dei punti di distanza al più $\varepsilon$ da un punto $x\in A$. Adesso scegli $B$ la palla aperta centrata in $x$ di raggio $\varepsilon/2$ ed hai concluso.

[cianfa72]

"hydro":Invece è vero che esiste una palla aperta $B\subset A$ tale che $\overline{B}$ è contenuto in $A$: prendi una palla aperta $C\subset A$; per definizione questa è il luogo dei punti di distanza al più $\varepsilon$ da un punto $x\in A$. Adesso scegli $B$ la palla aperta centrata in $x$ di raggio $\varepsilon/2$ ed hai concluso.

ok, ovviamente e' sufficiente considerare una qualunque palla aperta $B$ centrata in $x$ con raggio strettamente minore di $\varepsilon$: i punti di frontiera di tale palla essendo a distanza minore di $\varepsilon$ da $x$ per definizione appartengono a $C$ e quindi ad $A$

Altra cosa: qui abbiamo utilizzato la nozione metrica della topologia standard $R^n$. Se ora prendiamo $A$ aperto di uno spazio topologico generico e' ancora vero che esiste un aperto $B\subset A$ tale che $\overline{B}$ è ancora contenuto in $A$ ?

[hydro1]

In uno spazio metrico qualsiasi, con la topologia indotta dalla metrica, la risposta è sempre sì e il motivo sempre lo stesso. In uno spazio topologico generico assolutamente no, visto che esistono spazi in cui tutti gli aperti sono densi. Ad esempio se $X$ è un insieme infinito con la topologia cofinita, la risposta è no.