Matrice diagonalizzabile e rango
Ciao a tutti! Ho cercato un po' all'interno del forum ma non ho trovato nulla che possa aiutarmi.
Ho queste due domande:
1) Dire se è vero o falso che ogni matrice A ∈ M(3,R) tale che $2A+ 2A^t=I$ è diagonalizzabile su C.
2) Dire se è vero o falso che esistono matrici A,B ∈M(7,R) di rango 1 tali che A+B ha rango 2.
Per il punto 1) ho provato a ricavare una relazione che mi dicesse se la matrice A è normale (o simmetrica) così da usare il teorema spettrale. Per il 2) invece non so proprio come fare.
Vi sarei molto grato se mi deste una mano
Grazie
Ho queste due domande:
1) Dire se è vero o falso che ogni matrice A ∈ M(3,R) tale che $2A+ 2A^t=I$ è diagonalizzabile su C.
2) Dire se è vero o falso che esistono matrici A,B ∈M(7,R) di rango 1 tali che A+B ha rango 2.
Per il punto 1) ho provato a ricavare una relazione che mi dicesse se la matrice A è normale (o simmetrica) così da usare il teorema spettrale. Per il 2) invece non so proprio come fare.
Vi sarei molto grato se mi deste una mano
Grazie
Risposte
1) In generale, se $A$ è una matrice $n\times n$ a coefficienti reali tale che $A^t\in \mathbb R[A]$, avrai che $A\cdot A^t=A^t\cdot A$, perchè l'anello $\mathbb R[A]$ è commutativo.
2) Qual è la più semplice matrice di rango 1 a cui puoi pensare? Direi quella con un'entrata diversa da 0 e tutte le altre $=0$. Prova a sommare due matrici fatte così.
2) Qual è la più semplice matrice di rango 1 a cui puoi pensare? Direi quella con un'entrata diversa da 0 e tutte le altre $=0$. Prova a sommare due matrici fatte così.
1) Affinchè l'identità sia vera, $A=S+kI$ dove S è una matrice antisimmetrica (per cui $A^T=-A$) e $k=1/4$
Pertanto $det[A-lambdaI]=| ( k-lambda , a , b ),( -a , k-lambda , c ),( -b , -c , k-lambda ) | =(k-lambda)[lambda^2-2klambda+(a^2+b^2+c^2+k^2)]=0$
La matrice $A$ ha quindi un autovalore reale $lambda=1/4$ e due radici complesse coniugate $lambda=k+-isqrt(a^2+b^2+c^2)$
Pertanto $det[A-lambdaI]=| ( k-lambda , a , b ),( -a , k-lambda , c ),( -b , -c , k-lambda ) | =(k-lambda)[lambda^2-2klambda+(a^2+b^2+c^2+k^2)]=0$
La matrice $A$ ha quindi un autovalore reale $lambda=1/4$ e due radici complesse coniugate $lambda=k+-isqrt(a^2+b^2+c^2)$
"hydro":
1) In generale, se $ A $ è una matrice $ n\times n $ a coefficienti reali tale che $ A^t\in \mathbb R[A] $, avrai che $ A\cdot A^t=A^t\cdot A $, perchè l'anello $ \mathbb R[A] $ è commutativo.
2) Qual è la più semplice matrice di rango 1 a cui puoi pensare? Direi quella con un'entrata diversa da 0 e tutte le altre $ =0 $. Prova a sommare due matrici fatte così.
Ciao, grazie per la risposta.
Il punto 2) ho capito, esiste almeno una matrice.
Per il punto 1) invece ancora non mi è chiaro come $ A\cdot A^t=A^t\cdot A $ possa aiutarmi a dire che $A$ e diagonalizzabile data quella relazione.
"Bokonon":
1) Affinchè l'identità sia vera, $A=S+kI$ dove S è una matrice antisimmetrica (per cui $A^T=-A$) e $k=1/4$
Pertanto $det[A-lambdaI]=| ( k , a , b ),( -a , k , c ),( -b , -c , k ) | =(k-lambda)[lambda^2-2klambda+(a^2+b^2+c^2+k^2)]=0$
La matrice $A$ ha quindi un autovalore reale $lambda=1/4$ e due radici complesse coniugate $lambda=k+-isqrt(a^2+b^2+c^2)$
Ciao! Non capisco come questa osservazione possa risolvere il problema! Grazie per la risposta
"Marco98k":
[quote="hydro"]1) In generale, se $ A $ è una matrice $ n\times n $ a coefficienti reali tale che $ A^t\in \mathbb R[A] $, avrai che $ A\cdot A^t=A^t\cdot A $, perchè l'anello $ \mathbb R[A] $ è commutativo.
2) Qual è la più semplice matrice di rango 1 a cui puoi pensare? Direi quella con un'entrata diversa da 0 e tutte le altre $ =0 $. Prova a sommare due matrici fatte così.
Per il punto 1) invece ancora non mi è chiaro come $ A\cdot A^t=A^t\cdot A $ possa aiutarmi a dire che $A$ e diagonalizzabile data quella relazione.[/quote]
Perchè $A$ è normale.
"hydro":
[quote="Marco98k"][quote="hydro"]1) In generale, se $ A $ è una matrice $ n\times n $ a coefficienti reali tale che $ A^t\in \mathbb R[A] $, avrai che $ A\cdot A^t=A^t\cdot A $, perchè l'anello $ \mathbb R[A] $ è commutativo.
2) Qual è la più semplice matrice di rango 1 a cui puoi pensare? Direi quella con un'entrata diversa da 0 e tutte le altre $ =0 $. Prova a sommare due matrici fatte così.
Per il punto 1) invece ancora non mi è chiaro come $ A\cdot A^t=A^t\cdot A $ possa aiutarmi a dire che $A$ e diagonalizzabile data quella relazione.[/quote]
Perchè $A$ è normale.[/quote]
E perché $A$ sarebbe normale?
"Marco98k":
Ciao! Non capisco come questa osservazione possa risolvere il problema! Grazie per la risposta
Cos'è che non ti torna?
La matrice A è diagonalizzabile solo su C.
"Bokonon":
[quote="Marco98k"]
Ciao! Non capisco come questa osservazione possa risolvere il problema! Grazie per la risposta
Cos'è che non ti torna?
La matrice A è diagonalizzabile solo su C.[/quote]
Ciao!
Nel tuo ragionamento non mi torna il perché hai posto $ S$ antisimmetirca tale che $A=-A^t$ .
Grazie
@Marco98k
È la definizione di matrice antisimmetrica
È la definizione di matrice antisimmetrica
Sai che \(\displaystyle 2A + 2A^t = I \), ovvero \(4a_{ii} = 1\) e \(\displaystyle 2(a_{ij} + a_{ji}) = 0 \) per ogni \(\displaystyle i \neq j \in \{1,2,3\} \). Quindi sai che la matrice \(A\) ha la diagonale tutta formata da \(\displaystyle \frac14 \) e \(\displaystyle a_{ij} = -a_{ji} \) per ogni altro numero. Quindi \(\displaystyle S = \Bigl(A - \frac14 I\Bigr) \) è antisimmetrica.
"hydro":
Per definizione.
Si ma nell'ipotesi del quesito non c'è scritto che $A$ è normale, al massimo dovrei ricavarlo dalla relazione. Ma come?
"Marco98k":
[quote="hydro"]Per definizione.
Si ma nell'ipotesi del quesito non c'è scritto che $A$ è normale, al massimo dovrei ricavarlo dalla relazione. Ma come?[/quote]
Sì ma io ti ho spiegato perchè una matrice che soddisfa l'ipotesi del quesito, ovvero tale che $2A+2A^t=I$, è anche normale. Il motivo è che se $A^t\in \mathbb R[A]$, cosa che è implicata dalla tua ipotesi, allora $A\cdot A^t=A^t\cdot A$
"vict85":
Sai che \(\displaystyle 2A + 2A^t = I \), ovvero \(4a_{ii} = 1\) e \(\displaystyle 2(a_{ij} + a_{ji}) = 0 \) per ogni \(\displaystyle i \neq j \in \{1,2,3\} \). Quindi sai che la matrice \(A\) ha la diagonale tutta formata da \(\displaystyle \frac14 \) e \(\displaystyle a_{ij} = -a_{ji} \) per ogni altro numero. Quindi \(\displaystyle S = \Bigl(A - \frac14 I\Bigr) \) è antisimmetrica.
Ok grazie mille! Ho capito adesso
"hydro":
[quote="Marco98k"][quote="hydro"]Per definizione.
Si ma nell'ipotesi del quesito non c'è scritto che $A$ è normale, al massimo dovrei ricavarlo dalla relazione. Ma come?[/quote]
Sì ma io ti ho spiegato perchè una matrice che soddisfa l'ipotesi del quesito, ovvero tale che $2A+2A^t=I$, è anche normale. Il motivo è che se $A^t\in \mathbb R[A]$, cosa che è implicata dalla tua ipotesi, allora $A\cdot A^t=A^t\cdot A$[/quote]
È proprio questo che non capisco purtroppo.. perché l'ipotesi implica $A^t\in \mathbb R[A]$?
Scusa ma non riesco a capire.
$2A+2A^t=I \implies A^t=1/2I-A$, quindi $A^t$ è un polinomio in $A$ a coefficienti in $\mathbb R$.
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