Moltiplicatività dei gradi in un campo.

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Mi stavo domandando se questa dimostrazione, fatta a corso con il prof, funzione nel caso in cui il grado di un estensione di un campo sia infinito.

Siano \(K\subset L \subset M \) delle estensioni di campi. Allora \( [M : L ] = [M : L ] [L] \)

Sia \( \{ x_i | i \in I \} \) una famiglia generatrice e linearmente indipendenti di \(L \) su \(K\)
Sia \( \{ y_j | j \in J \} \) una famiglia generatrice e linearmente indipendenti di \(M \) su \(L\)

Dimostriamo che \( \{ x_i y_j | i \in I, j \in J\} \) è una famiglia generatrice e linearmente indipendente di \(M\) su \(K\).

Indipendenza lineare:
Siano \( \lambda_{i,j} \in K \) e consideriamo
\[ \sum_{i \in I, j \in J} \lambda_{i,j}x_iy_j = 0 \]
Allora abbiamo che
\[ 0 = \sum_{i \in I, j \in J} \lambda_{i,j}x_iy_j = \sum_{j \in J} \left( \sum_{i \in I} \lambda_{i,j} x_i \right) y_j \]
per associatività e distributività
Ora poiché \( \{ y_j \} \) è una famiglia indipendente abbiamo che \( \sum_{j \in J} \lambda_{i,j} x_i =0 \) per ogni \(j \in J\).
Inoltre poiché \( \{ x_i \} \) è una famiglia indipendente abbiamo che \( \lambda_{i,j} =0 \) per ogni \(i \in I \).

Il fatto che sia generatrice lo si dimostra in modo analogo. Ma il punto è che se una delle due famiglie è una famiglia infinita il passaggio
\[ \sum_{i \in I, j \in J} \lambda_{i,j}x_iy_j = \sum_{j \in J} \left( \sum_{i \in I} \lambda_{i,j} x_i \right) y_j \]
è valido sempre?

[solaàl]

L'indipendenza lineare, in spazi infiniti, si enuncia comunque per combinazioni lineari finite (è la definizione di base algebrica di uno spazio vettoriale).