Cambiamento di base
Ho trovato un esercizio che non riesco a completare (che sono sicura mi capiterà all'esame) potreste aiutarmi?
Sia V=$RR_2$[t] lo spazio dei polinomi $<=$ 2 e W lo spazio delle matrici simmetriche 2x2; data l'applicazione lineare $f:V \to W$ definita da f(a+$b*t$+$c*t$^2)=$[[a-b,a+c],[a+c,a-b]]$ Si scriva la matrice A$=_B'$$[f]_B$ che esprime f rispetto alle basi B=(1+t,1-t,t^2) e B'=($[[1,1],[1,1]]$ , $[[1,0],[0,1]]$ , $[[0,0],[0,1]]$)
Il problema è che con la base di partenza e la base di arrivo diversa non lo so fare l'esercizio per favore aiutatemi
Sia V=$RR_2$[t] lo spazio dei polinomi $<=$ 2 e W lo spazio delle matrici simmetriche 2x2; data l'applicazione lineare $f:V \to W$ definita da f(a+$b*t$+$c*t$^2)=$[[a-b,a+c],[a+c,a-b]]$ Si scriva la matrice A$=_B'$$[f]_B$ che esprime f rispetto alle basi B=(1+t,1-t,t^2) e B'=($[[1,1],[1,1]]$ , $[[1,0],[0,1]]$ , $[[0,0],[0,1]]$)
Il problema è che con la base di partenza e la base di arrivo diversa non lo so fare l'esercizio per favore aiutatemi
Risposte
l'ho fatto (grazie ad un mio amico) e scrivo la risposta del quesito per chi ne dovesse avere bisogno
Prima di tutto bisogna trovare F(1+t), F(1-t) e F(t^2), per farlo sostituiamo in f(a+bt+t^2)=$[[a-b,a+c],[a+c,a-b]]$ e avremo F(1+t)= a=1, b=1 e c=0 e la matrice diventa $[[0,1],[1,0]]$ procedendo così anche per F(1-t) e F(t^2) risulterà per F(1-t)=$[[2,1],[1,2]]$ e per F(t^2)=$[[0,1],[1,0]]$ alla fine scrivo la combinazione lineare della base di arrivo quindi $[[0,1],[1,0]]$=x $[[1,1],[1,1]]$+y $[[1,0],[0,1]]$+z $[[0,0],[0,1]]$ ottenendo la prima colonna della matrice A [1 -1 0]. Ripeto il procedimento anche con F(1-t) e F(t^2) e trovo le altre due colonne della matrice. L'esercizio è finito e spero sia chiaro il procedimento(Non fate il mio errore non confondete l'applicazione con la base xD)
Prima di tutto bisogna trovare F(1+t), F(1-t) e F(t^2), per farlo sostituiamo in f(a+bt+t^2)=$[[a-b,a+c],[a+c,a-b]]$ e avremo F(1+t)= a=1, b=1 e c=0 e la matrice diventa $[[0,1],[1,0]]$ procedendo così anche per F(1-t) e F(t^2) risulterà per F(1-t)=$[[2,1],[1,2]]$ e per F(t^2)=$[[0,1],[1,0]]$ alla fine scrivo la combinazione lineare della base di arrivo quindi $[[0,1],[1,0]]$=x $[[1,1],[1,1]]$+y $[[1,0],[0,1]]$+z $[[0,0],[0,1]]$ ottenendo la prima colonna della matrice A [1 -1 0]. Ripeto il procedimento anche con F(1-t) e F(t^2) e trovo le altre due colonne della matrice. L'esercizio è finito e spero sia chiaro il procedimento(Non fate il mio errore non confondete l'applicazione con la base xD)
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