Base duale

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo scritto* che, esprimendo i funzionali lineari su $RR^3$ come polinomi omogenei in $X_1,X_2,X_3$ a coefficienti reali, la base di \((\mathbb{R}^3)ˇ\) duale della base ${(1,-1,0),(0,1,1),(1,0,2)}$ di $RR^3$ è ${2X_1+X_2-X_3,2X_1+2X_2-X_3,-X_1-X_2+X_3}$. Vorrei chiedere una conferma su come ho interpretato io il significato di tutto ciò...
Una base ${\eta_1,\eta_2,\eta_3}$ duale di \(\mathbb{R}^3=\langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \rangle\) deve essere tale che \(\eta_i(\mathbf{e}_j)=\delta_{ij}\) (delta di Kronecker), quindi mi pare che quei $X_1,X_2,X_3$ rappresentino le tre componenti delle n-uple di $RR^3$, nel senso delle coordinate dei vettori di $RR^3$ rispetto alla base standard (e non rispetto ad altre basi): giusto?
Per esempio direi che \(\eta_1:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) sia \(\eta_1: (X_1,X_2,X_3)\mapsto 2X_1+X_2-X_3\) per ogni vettore \((X_1,X_2,X_3)\in\mathbb{R}^3\)...
Sto delirando?
$+oo$ grazie a tutti!!!

*E. Sernesi, Geometria I, es. 5 cap. 12. Non avendo idea di come calcolare la base ho guardato la soluzione per cercare di capire almeno come si fa in generale, e direi che si calcoli risolvendo per $c_1,c_2,c_3$ il sistema
\(c_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\\X_2\\X_3\end{pmatrix}\) perché mi pare che, dalla definizione di base duale, \(\eta_1(X_1,X_2,X_3)=c_1,\eta_2(X_1,X_2,X_3)=c_2,\eta_3(X_1,X_2,X_3)=c_3\).

[vittorino70]

Il calcolo della base duale ( se è questo che ti interessa) si conduce di norma così. Sia
(1) \(\displaystyle \eta_i(X_1,X_2,X_3)=c_1X_1+c_2X_2+c_3X_3 \) [con i=1,2,3]
il generico funzionale lineare. Per calcolare \(\displaystyle \eta_1 \) si ha il seguente sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \eta_1(e_1)=\delta_{11}=1\\ \eta_1(e_2)=\delta_{12}=0\\ \eta_1(e_3)=\delta_{13}=0\end{cases}\)
Ovvero:
\(\displaystyle \begin{cases} \eta_1(1,-1,0)=1\\ \eta_1(0,1,1)=0\\ \eta_1(1,0,2)=0\end{cases}\)
cioè:
\(\displaystyle \begin{cases}c_1-c_2=1\\ c_2+c_3=0 \\ c_1+2c_3=0\end{cases} \)
da cui la soluzione : \(\displaystyle c_1=2,c_2=1,c_3=-1 \)
Sostituendo tali valori nella (1) [con i=1] ,si ha :
\(\displaystyle \eta_1=2X_1+X_2-X_3 \)
Per \(\displaystyle \eta_2,\eta_3 \) si procede in modo analogo, ottenendo per \(\displaystyle \eta_2 \) il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} \eta_2(1,-1,0)=0\\ \eta_2(0,1,1)=1\\ \eta_2(1,0,2)=0\end{cases}\)
e per \(\displaystyle \eta_3 \) il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} \eta_3(1,-1,0)=0\\ \eta_3(0,1,1)=0\\ \eta_3(1,0,2)=1\end{cases}\)
Lascio a te i calcoli relativi.

[DavideGenova1]

"vittorino70":Il calcolo della base duale ( se è questo che ti interessa) si conduce di norma così. Sia
(1) \(\displaystyle \eta_i(X_1,X_2,X_3)=c_1X_1+c_2X_2+c_3X_3 \) [con i=1,2,3]

Grazie di cuore, Vittorino!!! Quindi direi che era corretta la mia interpretazione secondo cui la terna di indeterminate $X_1,X_2,X_3$ rappresenta per il nostro $\eta_i:\mathbf{V}\to\mathbb{K}$ con $\mathbf{V}=\mathbb{R}^3,\mathbb{K}=\mathbb{R}$ le componenti di una generica terna ordinata del prodotto cartesiano $\mathbf{V}=\mathbb{R}^3$ (lo stesso delle componenti di un generico $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ rispetto alla base canonica)...

"vittorino70":Lascio a te i calcoli relativi.

Interessante questo metodo! Direi che comunque è equivalente a risolvere in $\alpha(X_1,X_2,X_3)$, $\beta(X_1,X_2,X_3)$ e $\gamma(X_1,X_2,X_3)$ (perché tali devono essere le coordinate di un generico vettore $\mathbf{v}=(X_1,X_2,X_3)\in\mathbf{V}=\mathbb{R}^3$) il sistema
\(\alpha\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\\X_2\\X_3\end{pmatrix}=\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3\) perché mi pare che, dalla definizione di base duale, \(\eta_1(X_1,X_2,X_3)=\alpha(X_1,X_2,X_3),\eta_2(X_1,X_2,X_3)=\beta(X_1,X_2,X_3),\eta_3(X_1,X_2,X_3)=\gamma(X_1,X_2,X_3)\)... no?
$+oo$ grazie ancora!!!