Rango: meglio Kronecker o Gauss?
Stamattina avevo in mente di trovare il rango di una bella matrice 5x4
Siccome con Kronecker non ero sicuro sul da farsi ho pensato di trovarlo prima con Gauss, riducendeo la matrice data in una matrice a scalini e contando il numero delle righe (o colonne) non nulle, nel mio caso c'erano solo 3 righe non nulla per cui ho stabilito che il rango della matrice era 3..
A questo punto leggo sugli appunti e sul libro che con Kronecker si fa prima, cioè è un metodo veloce per trovare il rango di una matrice, allora cerco di trovare il rango della mia matrice 5x4 con Kronecker
$[[3,-2,1,0],[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2],[2,-3,0,1]]$
Dico per prima cosa che esistono minori del primo ordine, minori del secondo ordine, minori del terzo ordine e minori del quarto ordine, in particolare ci sono due minori del quarto ordine:
$[[3,-2,1,0],[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2]]$ e $[[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2],[2,-3,0,1]]$
Mi accorgo tuttavia (con il teorema di Laplace per determinanti) che entrambi hanno il determinante uguale a 0 per cui non solo i vettori dei due sono tra loro linearmente dipendenti ma non costituiscono di certo il rango della mia matrice..
A questo punto passo ai minori di ordine 3, scopro che ne esiste almeno uno il cui determinante è diverso da 0
$[[3,-2,1],[1,-1,2],[1,0,-3]]$
Arrivato qui mi blocco e non so più come procedere, in particolar modo dovrei dimostrare che tutti gli orlati sono uguali a 0, ma gli orlati di chi? Solo del minore che ho preso in considerazione? Oppure di tutti i minori del terzo ordine? Perchè ne esistono altri ma molti hanno il determinante uguale a 0..
Dico io non era più facile con Gauss?
Con Kronecker come si procedeva? C'era bisogno di calcolre i determinanti dei minori del quarto ordine? oppure bastava dire che c'era almeno un minore del terzo ordine con determinante diverso da 0? E in base a che?
Perchè Kronecker sarebbe più facile e veloce? ( Temo di non averlo capito un granchè
)
Siccome con Kronecker non ero sicuro sul da farsi ho pensato di trovarlo prima con Gauss, riducendeo la matrice data in una matrice a scalini e contando il numero delle righe (o colonne) non nulle, nel mio caso c'erano solo 3 righe non nulla per cui ho stabilito che il rango della matrice era 3..
A questo punto leggo sugli appunti e sul libro che con Kronecker si fa prima, cioè è un metodo veloce per trovare il rango di una matrice, allora cerco di trovare il rango della mia matrice 5x4 con Kronecker
$[[3,-2,1,0],[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2],[2,-3,0,1]]$
Dico per prima cosa che esistono minori del primo ordine, minori del secondo ordine, minori del terzo ordine e minori del quarto ordine, in particolare ci sono due minori del quarto ordine:
$[[3,-2,1,0],[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2]]$ e $[[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2],[2,-3,0,1]]$
Mi accorgo tuttavia (con il teorema di Laplace per determinanti) che entrambi hanno il determinante uguale a 0 per cui non solo i vettori dei due sono tra loro linearmente dipendenti ma non costituiscono di certo il rango della mia matrice..
A questo punto passo ai minori di ordine 3, scopro che ne esiste almeno uno il cui determinante è diverso da 0
$[[3,-2,1],[1,-1,2],[1,0,-3]]$
Arrivato qui mi blocco e non so più come procedere, in particolar modo dovrei dimostrare che tutti gli orlati sono uguali a 0, ma gli orlati di chi? Solo del minore che ho preso in considerazione? Oppure di tutti i minori del terzo ordine? Perchè ne esistono altri ma molti hanno il determinante uguale a 0..
Dico io non era più facile con Gauss?
Con Kronecker come si procedeva? C'era bisogno di calcolre i determinanti dei minori del quarto ordine? oppure bastava dire che c'era almeno un minore del terzo ordine con determinante diverso da 0? E in base a che?
Perchè Kronecker sarebbe più facile e veloce? ( Temo di non averlo capito un granchè
)
Risposte
Dunque trovo gli orlati del minore che ho scelto! Bene ma gli orlati come li faccio? Il mio è un problema diciamo pratico, nel senso che so che per fare un orlato devo completare per così dire un minore aggiungendo una riga e/o una colonna, ma se il mio minore si trova nell'"angolo" in alto a destra come faccio a prendere una riga intera e una colonna intera?
Non so se sono riuscito a spiegarmi
$[[3,-2,1,0],[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2],[2,-3,0,1]]$
Insomma data questa matrice e questo minore $[[3,-2,1],[1,-1,2],[1,0,-3]]$ come lo orlo?
Qualunque riga o colonna ci aggiungo, a livello pratico le righe o colonne con cui dovrei orlare le dovrei "spezzare", cioè non posso prendere una colonna per intero, e non so se si può fare.. :S
Un esempio di orlato di questo minore?
Non so se sono riuscito a spiegarmi
$[[3,-2,1,0],[1,-1,2,1],[1,0,-3,-2],[4,-2,-2,-2],[2,-3,0,1]]$
Insomma data questa matrice e questo minore $[[3,-2,1],[1,-1,2],[1,0,-3]]$ come lo orlo?
Qualunque riga o colonna ci aggiungo, a livello pratico le righe o colonne con cui dovrei orlare le dovrei "spezzare", cioè non posso prendere una colonna per intero, e non so se si può fare.. :S
Un esempio di orlato di questo minore?
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