Indipendenza lineare su GF2
Salve a tutti,
dalla pagina di wikipedia (e da molti testi più seri):
"l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente."
Bene, subito dopo viene data una definizione più precisa dove si introduce il concetto di campo. Ok, bello, sono d'accordo. La mia domanda è: cosa significa trovare un vettore linearmente dipendente dagli altri in GF2? Il dubbio mi viene perchè gli scalari presenti nella combinazione lineare sono definiti in R^n negli splendidi esempi che i prof fanno all'università, ma cosa succede per i numeri binari?
Poichè devo approfondire molto l'argomento, oltre alle eventuali risposte a questo post, mi farebbe piacere ricevere qualche consiglio su un buon libro di testo. Io sono interessato all'algebra lineare ma voglio (devo) occuparmente in GF2.
Grazie a tutti.
dalla pagina di wikipedia (e da molti testi più seri):
"l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente."
Bene, subito dopo viene data una definizione più precisa dove si introduce il concetto di campo. Ok, bello, sono d'accordo. La mia domanda è: cosa significa trovare un vettore linearmente dipendente dagli altri in GF2? Il dubbio mi viene perchè gli scalari presenti nella combinazione lineare sono definiti in R^n negli splendidi esempi che i prof fanno all'università, ma cosa succede per i numeri binari?
Poichè devo approfondire molto l'argomento, oltre alle eventuali risposte a questo post, mi farebbe piacere ricevere qualche consiglio su un buon libro di testo. Io sono interessato all'algebra lineare ma voglio (devo) occuparmente in GF2.
Grazie a tutti.
Risposte
Io non ho proprio capito quale sia il tuo dubbio! 
Sia \(\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale su \(GF(2)\) (o \(\mathbb{Z}_2\) che è lo stesso campo), considerato il sistema (finito) \(S=\{v_i\in\mathbb{V}\}_{i\in\{1;...\;n\}}\) allora esso è libero (o i dati vettori sono linearemente indipendenti) per definizione se:
\[
\forall i\in\{1;...;n\};\lambda_i\in GF(2)=\{0;1\},\,\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i=\underline0\Rightarrow\forall i\in\{1;...;n\},\,\lambda_i=0;
\]
ribadito ciò: dov'è il problema?
Gli spazi vettoriali su \(GF(2)\) sono niente più che meno spazi vettoriali (su un campo), a meno che tu non voglia studiare qualche proprietà particolare ove la finitezza del campo o la caratteristica dello stesso sono proprietà non trascurabili.
Per quanto riguarda i libri di testo non ne conosco di dedicati a \(GF(2)\).
Sia \(\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale su \(GF(2)\) (o \(\mathbb{Z}_2\) che è lo stesso campo), considerato il sistema (finito) \(S=\{v_i\in\mathbb{V}\}_{i\in\{1;...\;n\}}\) allora esso è libero (o i dati vettori sono linearemente indipendenti) per definizione se:
\[
\forall i\in\{1;...;n\};\lambda_i\in GF(2)=\{0;1\},\,\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i=\underline0\Rightarrow\forall i\in\{1;...;n\},\,\lambda_i=0;
\]
ribadito ciò: dov'è il problema?
Gli spazi vettoriali su \(GF(2)\) sono niente più che meno spazi vettoriali (su un campo), a meno che tu non voglia studiare qualche proprietà particolare ove la finitezza del campo o la caratteristica dello stesso sono proprietà non trascurabili.
Per quanto riguarda i libri di testo non ne conosco di dedicati a \(GF(2)\).
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