Forma bilineare e piani iperbolici

[Sk_Anonymous]

Nelle dispense che sto studiando leggo:

PIANO IPERBOLICO. Si tratta dell'usuale \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) con la forma di matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) (non degenere); vi sono due sottospazi indipendenti di dimensione \(\displaystyle 1 \) di vettori isotropi (dunque ciascuno ortogonale di se stesso, ma non ortogonali tra loro): si tratta dei vettori che soddisfano \(\displaystyle XY = 0 \); dato un vettore \(\displaystyle \binom{x}{y} \) lo spazio ortogonale è generato da \(\displaystyle \binom{x}{-y} \). Si può trovare una base in cui la matrice diventi \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \). [...]

In un esercizio mi viene chiesto di verificare se \(\displaystyle V \) spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle 4 \) su di un corpo \(\displaystyle \mathbb{K} \) di caratteristica diversa da \(\displaystyle 2 \) munito di una certa applicazione bilineare \(\displaystyle g \) contiene piani iperbolici \(\displaystyle \left( \mathbb{R}^2 , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \). Ora, se trovo una base \(\displaystyle \mathcal{V}=\{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} \} \) di vettori ortogonali non isotropi rispetto alla quale la matrice di \(\displaystyle g \) ha forma \[\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] ho finito, vero? E posso dire anche che i due piani iperbolici \(\displaystyle \langle v_{1} , v_{2} \rangle \), \(\displaystyle \langle v_{3}, v_{4} \rangle \) sono ortogonali tra loro, giusto?

[Sk_Anonymous]

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