Prodotto con matrici elementari

[paliotto98]

Salve a tutti,domanda probabilmente banalissima,ma non per me: il prodotto di tre matrici elementari ABC,si puo commutare e scrivere anche come prodotto ACB??

[fulcanelli]

No, in generale no; una matrice elementare è una matrice della forma
\[ \mathbb I + a u\otimes v \] dove \(\mathbb I\) è la matrice identica, $a$ è uno scalare e \(\otimes\) è il prodotto di Kronecker. E' sufficiente trovare \(u,v,u',v'\) tali che \([u\otimes v, u'\otimes v']\neq 0\) per fare in modo che la matrice elementare generata da \(u\otimes v\) non commuti con quella generata da \(u'\otimes v'\), per il semplice motivo che \([\mathbb I + a u\otimes v, \mathbb I + b u'\otimes v'] = ab[u\otimes v, u'\otimes v']\).

Un esempio concreto è \(u=(1,1,1), v=(0,1,0)\), cosicché \(u\otimes v = \left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)\) e \(u'=(2,1,0), v'=(0,0,1)\) cosicché \(u'\otimes v' = \left( \begin{smallmatrix}
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right)\). Il commutatore tra queste due matrici non è zero (FYI, è \(\left( \begin{smallmatrix}
0 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)\)).

[paliotto98]

"fulcanelli":No, in generale no; una matrice elementare è una matrice della forma
\[ \mathbb I + a u\otimes v \] dove \(\mathbb I\) è la matrice identica, $a$ è uno scalare e \(\otimes\) è il prodotto di Kronecker. E' sufficiente trovare \(u,v,u',v'\) tali che \([u\otimes v, u'\otimes v']\neq 0\) per fare in modo che la matrice elementare generata da \(u\otimes v\) non commuti con quella generata da \(u'\otimes v'\), per il semplice motivo che \([\mathbb I + a u\otimes v, \mathbb I + b u'\otimes v'] = ab[u\otimes v, u'\otimes v']\).

Un esempio concreto è \(u=(1,1,1), v=(0,1,0)\), cosicché \(u\otimes v = \left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)\) e \(u'=(2,1,0), v'=(0,0,1)\) cosicché \(u'\otimes v' = \left( \begin{smallmatrix}
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right)\). Il commutatore tra queste due matrici non è zero (FYI, è \(\left( \begin{smallmatrix}
0 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)\)).

grazie mille,una curiosità:per dimostrare questo hai utilizzato un argomento che si vede ad un livello più avanzato rispetto geometria 1?perchè io queste cose non le ho mai viste,