Composizione di applicazioni lineari è lineare (omomorfismi)

[TonyC1]

Salve a tutti questo è il mio primo messaggio, non so se lo sto pubblicando nella sezione giusta ma ho assolutamente bisogno di un chiarimento riguardo questo teorema. Onde evitare fraintendimenti tento di trascriverlo

Siano U, V, W tre spazi vettoriali su K. Sia f $ in $ hom(U,V) e g $ in $ hom(V,W).
Le applicazioni F: hom(V,W) $ rarr $ hom(U,W) e G: hom(U,V) $ rarr $ hom(U,W) definite da

F(h) = h $ @ $ f ; G(h) = g $ @ $ h
Sono lineari

La domanda è, cosa intende quando dice l' applicazione F o anche G di un omomorfismo in un altro omomorfismo?
Cordiali saluti e grazie in anticipo

[vict85]

Benvenuto. Per prima cosa, è meglio formattare l'intera formula piuttosto che il solo simbolo ([formule][/formule]). Insomma

Siano \(U\), \(V\) e \(W\) tre spazi vettoriali su \(\mathbb{K}\). Siano inoltre \(f \in \hom(U,V)\) e \(g \in \hom(V,W)\). Le applicazioni \(F\colon \hom(V,W) \to \hom(U,W)\) e \(G\colon \hom(U,V) \to \hom(U,W)\) definite come \(F \colon h \mapsto h \circ f\) e \(G \colon h \mapsto g \circ h\) sono lineari

risulta più leggibile della versione che hai scritto tu.

Venendo al tuo problema. Sapresti dimostrare che \(\hom(U,V)\) è un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale? Se \(U\) e \(V\) hanno dimensioni finite, allora \(\hom(U,V)\) è isomorfo a che spazio vettoriale?

[TonyC1]

Grazie per la risposta!
Sinceramente non so come si faccia a compattare ahah
Se non erro per la prima domanda basta fare riferimento alla definizione di omomorfismo e si riesce a dimostrare che è spazio vettoriale, però già questo mi ha fatto pensare in modo diverso riguardo l' applicazione. Tuttavia non mi è chiaro ancora il passaggio alla composizione.
Riguardo alla seconda domanda non ne ho idea, anche perchè nel mio libro non sono ancora stati introdotti gli isomorfismi.
Il mio livello di comprensione è ancora molto superficiale