Matrice Trasposta come si dimostra tale uguaglianza?

CrisLoveStefy
:shock: Salve domani ho l'esame di teoria e so che ci mette la domanda tranello. E vorrei sapere come dimostrare che:

Se A e B sono due matrici moltiplicabili, (AXB)^T = (B^T)X(A^T).
Come lo dimostrereste? Sono giorni che ci provo ma non so come dimostrarla.
Chi mi potrebbe dare una mano?
Grazie infinite!

Risposte
CrisLoveStefy
Allora? Ho per caso sbagliato a scrivere la formula? Beh comunque intanto ci prvo ma so che è difficile. Grazie comunque anche se non potete rispondermi..

_Tipper
Sia $A \in \mathbb{R}^{m \times q}$ e $B \in \mathbb{R}^{q \times n}$, allora per ogni $i=1, 2, \ldots, m$ e per ogni $j=1, 2, \ldots, n$ vale:

$(AB)_{ij}^T=(AB)_{ji}$ per la definizione di trasposto

$=\sum_{s=1}^q A_{js}B_{si}$ per la definizione di prodotto

$=\sum_{s=1}^q B_{si}A_{js}$ per la proprietà commutativa della moltiplicazione dei numeri

$=\sum_{s=1}^qB_{is}^T A_{sj}^T$ per la definizione di trasposta

$=(B^T A^T)_{ij}$ per la definizione di prodotto

CrisLoveStefy
E per semplificare meglio? Il modo più semplice. Vi prego così me lo posso ricordare a memoria. Grazie.

_Tipper
Secondo me non è una buona tecnica ricordarsi le dimostrazioni a memoria, le dimostrazioni vanno capite...

CrisLoveStefy
quindi non c'è altro modo per spiegarla vero?

_Tipper
Ci sarà sicuramente un altro modo, io ho trovato, da una dispensa di algebra, questa dimostrazione.

Fioravante Patrone1
@Tipper

Dubito che ci sia un modo più diretto di quello che hai riportato.
In fondo non usa altro che la def di trasposta e di prodotto fra matrici (oltre al fatto che $xy=yx$ che non mi pare così esotico).
Ed evitare di usare la def di trasposta e di prodotto nel dim una prop che riguarda la trasposta di un prodotto, mi sembra una pretesa un po' eccessiva...

E' una di quelle tipiche dim per cui uno dice: "Come si fa? Boh, provo a seguire la strada più naturale che c'è! Evviva, mi è andata bene" Insomma, non c'è nulla da ricordarsi. Nessun "trucco" o idea particolarmente furba.

CrisLoveStefy
*****************

amel3
Bella riconoscenza! :shock: :lol:

Fioravante Patrone1
beh, amel, posso capire la reazione

oltretutto CrisLoveStefy non se l'è presa con Tipper (allora sì che sarebbe stato fuori luogo davvero)
ma se l'è presa con me

e tutto sommato mi fa piacere, perché si vede che il mio post gli ha dato fastidio, che è proprio quello che volevo
già Tipper gli aveva risposto sull'imparare a memoria,
ma io sono rimasto basito
Tipper gli ha scritto la dimostrazione più diretta, più naturale, più banale che si possa immaginare

è che l'ansia da esame (e l'ansia in genere) non permette di ragionare bene

anche perché quel suo post "non è da lui"
sono sicuro che dopo aver passato questo esame (30 anche di questo, come di analisi?) rivedrà nell'ottica giusta questo thread

e, a proposito, in bocca al lupo a CrisLoveStefy

TomSawyer1
"Fioravante Patrone":
anche perché quel suo post "non è da lui"


Beh, considerando tutti i post del thread, mi sembra difficile crederlo. Opinione personale. Comunque, molti avrebbero reagito in maniera molto diversa. Gran signore.

dinisauro
Scusate se riprendo questo thread dopo quasi 15 anni però mi sembra doveroso far notare quella che sembra un'errore dovuto a un discorso notazionale nelle definizioni di prodotto di matrici e matrice trasposta all'inizio della dimostrazione offerta da Tipper in cui dati $A \in \mathbb{R}^{m \times q}$ e $B \in \mathbb{R}^{q \times n}$ tale che $i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$, scrive:

$(AB)_{ji}=\sum_{s=1}^q A_{js}B_{si}$ dove:

Considerando a titolo d'esempio $m=2$ e $n=3$, i termini della terza riga $A_{ns}=A_{3s}$ che compaiono all'interno della somma non appartengono alla matrice $A$ perché non esiste nessuna terza riga in $A$ (essendo questa una matrice $m \times q = 2 \times q$. Di conseguenza è impossibile effettuare il prodotto matriciale $(AB)_{ji}$ coerentemente per come è stato definito.

Il problema risiede tra l'altro nella definizione secondo cui il prodotto di due matrici $A$ e $B$, rispettivamente di dimensioni $(m \times q )$ e $(q \times n)$ è una matrice $C=AB$ di dimensioni $(m \times n )$ il cui elemento $C_{ij}$ é:

$C_{ij}=\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$

(notare che non è sufficiente indicare solo la sommatoria, ma è importante affiancargli anche gli intervalli di variabilità degli indici). Come si evince, tale definizione descrive il comportamento dell'elemento generico $C_{ij}$, non della matrice $C$ a cui appartiene. Questa è un'osservazione fondamentale perché ogni volta che si vuole verificare un certo comportamento "complessivo" di una matrice e non dei suoi singoli elementi, non si può pretendere che le definizioni scritte sugli elementi siano equivalente alla descrizione "complessiva" di tale comportamento. Per verificarlo basta considerare la definizione di matrice trasposta:

Sia $C \in \mathbb{R}^{m \times n}$, si definisce matrice trasposta $C^{T}=(C)^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ la matrice di elementi: $C_{ji}^{T}=C_{ij}$ per $i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$

In pratica, per capirci, mentre è chiaro che una matrice è diversa dalla sua trasposta $C!=C^T$ ( infatti $C$ e $C^T$ hanno dimensioni invertite), si ha invece che $C_{ij}=C_{ji}^T$ per definizione, ovvero che l'elemento generico del prodotto di due matrici è proprio lo stesso del suo trasposto, ma a indici invertiti. Ritornando a questo thread si vuole verificare il comportamento $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ che può essere tradotto sugli elementi mediante le definizioni appena esposte in questo modo:

$C_{ji}^{T}=\sum_{s=1}^q B_{js}^{T}A_{si}^{T}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$.

essendo $C^{T}=(AB)^{T}$ di elementi $C_{ji}^T$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$. I passaggi per la dimostrazione sono praticamente gli stessi usati da Tipper ma con le precedenti considerazioni:

$C_{ji}^{T}=C_{ij}=\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj}=\sum_{s=1}^q B_{sj}A_{is}=\sum_{s=1}^q B_{js}^{T}A_{si}^{T}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$

Dove sono state usate in ordine la definizione (degli elementi) della matrice trasposta, la definizione di prodotto (degli elementi di) 2 matrici, proprietà commutativa di tale prodotto e ancora definizione (degli elementi) della matrice trasposta.
In consclusione la definizione nota di prodotto di due matrici $\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj} \ \ldots $ riguarda il calcolo dei suoi elementi, non della matrice di appartenenza e così anche la definizione di matrice trasposta $C_{ij}=C_{ji}^{T} \ \ldots $. Può sembrare una differenza sottile, ma $C$ è diverso da $C_{ij}$ perchè la prima denota una matrice ("raggruppamento" di elementi ordinati in righe e colonne) e la seconda il suo elemento generico.

j18eos
CIa0 dinisauro, benvenut*;

credo che tu debba rileggere meglio l'intervento di Tipper ^_^ perché sicuramente avrai letto male! ;)

dinisauro
Ciao j18eos, grazie per il benvenuto.
Rileggendo il commento di Tipper mi sono accorto solo ora che molto probabilmente Tipper ha semplicemente inavvertitamente invertito gli intervalli di variabilità di $i$ e $j$ all'inizio del suo commento. Infatti tutto torna se si inserisce nel suo commento:
$i=1, 2, \ldots, n$, $j=1, 2, \ldots, m$ al posto di $i=1, 2, \ldots, m$, $j=1, 2, \ldots, n$
Il papiro che ho scritto spero serva comunque a qualcuno per approfondimenti e chiarimenti ulteriori.

j18eos
Sì, esatto: a un certo passaggio, causa trasposizione, Tipper ha invertito gli apici e i pedici. ;)

dinisauro
Scusate, chiedo venia: me ne sono accorto tardi... :roll:

j18eos
Tranquillo: meglio qui che all'esame! ;)

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