Matrice Trasposta come si dimostra tale uguaglianza?

Se A e B sono due matrici moltiplicabili, (AXB)^T = (B^T)X(A^T).
Come lo dimostrereste? Sono giorni che ci provo ma non so come dimostrarla.
Chi mi potrebbe dare una mano?
Grazie infinite!
Risposte
Allora? Ho per caso sbagliato a scrivere la formula? Beh comunque intanto ci prvo ma so che è difficile. Grazie comunque anche se non potete rispondermi..
Sia $A \in \mathbb{R}^{m \times q}$ e $B \in \mathbb{R}^{q \times n}$, allora per ogni $i=1, 2, \ldots, m$ e per ogni $j=1, 2, \ldots, n$ vale:
$(AB)_{ij}^T=(AB)_{ji}$ per la definizione di trasposto
$=\sum_{s=1}^q A_{js}B_{si}$ per la definizione di prodotto
$=\sum_{s=1}^q B_{si}A_{js}$ per la proprietà commutativa della moltiplicazione dei numeri
$=\sum_{s=1}^qB_{is}^T A_{sj}^T$ per la definizione di trasposta
$=(B^T A^T)_{ij}$ per la definizione di prodotto
$(AB)_{ij}^T=(AB)_{ji}$ per la definizione di trasposto
$=\sum_{s=1}^q A_{js}B_{si}$ per la definizione di prodotto
$=\sum_{s=1}^q B_{si}A_{js}$ per la proprietà commutativa della moltiplicazione dei numeri
$=\sum_{s=1}^qB_{is}^T A_{sj}^T$ per la definizione di trasposta
$=(B^T A^T)_{ij}$ per la definizione di prodotto
E per semplificare meglio? Il modo più semplice. Vi prego così me lo posso ricordare a memoria. Grazie.
Secondo me non è una buona tecnica ricordarsi le dimostrazioni a memoria, le dimostrazioni vanno capite...
quindi non c'è altro modo per spiegarla vero?
Ci sarà sicuramente un altro modo, io ho trovato, da una dispensa di algebra, questa dimostrazione.
@Tipper
Dubito che ci sia un modo più diretto di quello che hai riportato.
In fondo non usa altro che la def di trasposta e di prodotto fra matrici (oltre al fatto che $xy=yx$ che non mi pare così esotico).
Ed evitare di usare la def di trasposta e di prodotto nel dim una prop che riguarda la trasposta di un prodotto, mi sembra una pretesa un po' eccessiva...
E' una di quelle tipiche dim per cui uno dice: "Come si fa? Boh, provo a seguire la strada più naturale che c'è! Evviva, mi è andata bene" Insomma, non c'è nulla da ricordarsi. Nessun "trucco" o idea particolarmente furba.
Dubito che ci sia un modo più diretto di quello che hai riportato.
In fondo non usa altro che la def di trasposta e di prodotto fra matrici (oltre al fatto che $xy=yx$ che non mi pare così esotico).
Ed evitare di usare la def di trasposta e di prodotto nel dim una prop che riguarda la trasposta di un prodotto, mi sembra una pretesa un po' eccessiva...
E' una di quelle tipiche dim per cui uno dice: "Come si fa? Boh, provo a seguire la strada più naturale che c'è! Evviva, mi è andata bene" Insomma, non c'è nulla da ricordarsi. Nessun "trucco" o idea particolarmente furba.
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Bella riconoscenza!


beh, amel, posso capire la reazione
oltretutto CrisLoveStefy non se l'è presa con Tipper (allora sì che sarebbe stato fuori luogo davvero)
ma se l'è presa con me
e tutto sommato mi fa piacere, perché si vede che il mio post gli ha dato fastidio, che è proprio quello che volevo
già Tipper gli aveva risposto sull'imparare a memoria,
ma io sono rimasto basito
Tipper gli ha scritto la dimostrazione più diretta, più naturale, più banale che si possa immaginare
è che l'ansia da esame (e l'ansia in genere) non permette di ragionare bene
anche perché quel suo post "non è da lui"
sono sicuro che dopo aver passato questo esame (30 anche di questo, come di analisi?) rivedrà nell'ottica giusta questo thread
e, a proposito, in bocca al lupo a CrisLoveStefy
oltretutto CrisLoveStefy non se l'è presa con Tipper (allora sì che sarebbe stato fuori luogo davvero)
ma se l'è presa con me
e tutto sommato mi fa piacere, perché si vede che il mio post gli ha dato fastidio, che è proprio quello che volevo
già Tipper gli aveva risposto sull'imparare a memoria,
ma io sono rimasto basito
Tipper gli ha scritto la dimostrazione più diretta, più naturale, più banale che si possa immaginare
è che l'ansia da esame (e l'ansia in genere) non permette di ragionare bene
anche perché quel suo post "non è da lui"
sono sicuro che dopo aver passato questo esame (30 anche di questo, come di analisi?) rivedrà nell'ottica giusta questo thread
e, a proposito, in bocca al lupo a CrisLoveStefy
"Fioravante Patrone":
anche perché quel suo post "non è da lui"
Beh, considerando tutti i post del thread, mi sembra difficile crederlo. Opinione personale. Comunque, molti avrebbero reagito in maniera molto diversa. Gran signore.
Scusate se riprendo questo thread dopo quasi 15 anni però mi sembra doveroso far notare quella che sembra un'errore dovuto a un discorso notazionale nelle definizioni di prodotto di matrici e matrice trasposta all'inizio della dimostrazione offerta da Tipper in cui dati $A \in \mathbb{R}^{m \times q}$ e $B \in \mathbb{R}^{q \times n}$ tale che $i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$, scrive:
$(AB)_{ji}=\sum_{s=1}^q A_{js}B_{si}$ dove:
Considerando a titolo d'esempio $m=2$ e $n=3$, i termini della terza riga $A_{ns}=A_{3s}$ che compaiono all'interno della somma non appartengono alla matrice $A$ perché non esiste nessuna terza riga in $A$ (essendo questa una matrice $m \times q = 2 \times q$. Di conseguenza è impossibile effettuare il prodotto matriciale $(AB)_{ji}$ coerentemente per come è stato definito.
Il problema risiede tra l'altro nella definizione secondo cui il prodotto di due matrici $A$ e $B$, rispettivamente di dimensioni $(m \times q )$ e $(q \times n)$ è una matrice $C=AB$ di dimensioni $(m \times n )$ il cui elemento $C_{ij}$ é:
$C_{ij}=\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$
(notare che non è sufficiente indicare solo la sommatoria, ma è importante affiancargli anche gli intervalli di variabilità degli indici). Come si evince, tale definizione descrive il comportamento dell'elemento generico $C_{ij}$, non della matrice $C$ a cui appartiene. Questa è un'osservazione fondamentale perché ogni volta che si vuole verificare un certo comportamento "complessivo" di una matrice e non dei suoi singoli elementi, non si può pretendere che le definizioni scritte sugli elementi siano equivalente alla descrizione "complessiva" di tale comportamento. Per verificarlo basta considerare la definizione di matrice trasposta:
Sia $C \in \mathbb{R}^{m \times n}$, si definisce matrice trasposta $C^{T}=(C)^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ la matrice di elementi: $C_{ji}^{T}=C_{ij}$ per $i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$
In pratica, per capirci, mentre è chiaro che una matrice è diversa dalla sua trasposta $C!=C^T$ ( infatti $C$ e $C^T$ hanno dimensioni invertite), si ha invece che $C_{ij}=C_{ji}^T$ per definizione, ovvero che l'elemento generico del prodotto di due matrici è proprio lo stesso del suo trasposto, ma a indici invertiti. Ritornando a questo thread si vuole verificare il comportamento $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ che può essere tradotto sugli elementi mediante le definizioni appena esposte in questo modo:
$C_{ji}^{T}=\sum_{s=1}^q B_{js}^{T}A_{si}^{T}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$.
essendo $C^{T}=(AB)^{T}$ di elementi $C_{ji}^T$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$. I passaggi per la dimostrazione sono praticamente gli stessi usati da Tipper ma con le precedenti considerazioni:
$C_{ji}^{T}=C_{ij}=\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj}=\sum_{s=1}^q B_{sj}A_{is}=\sum_{s=1}^q B_{js}^{T}A_{si}^{T}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$
Dove sono state usate in ordine la definizione (degli elementi) della matrice trasposta, la definizione di prodotto (degli elementi di) 2 matrici, proprietà commutativa di tale prodotto e ancora definizione (degli elementi) della matrice trasposta.
In consclusione la definizione nota di prodotto di due matrici $\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj} \ \ldots $ riguarda il calcolo dei suoi elementi, non della matrice di appartenenza e così anche la definizione di matrice trasposta $C_{ij}=C_{ji}^{T} \ \ldots $. Può sembrare una differenza sottile, ma $C$ è diverso da $C_{ij}$ perchè la prima denota una matrice ("raggruppamento" di elementi ordinati in righe e colonne) e la seconda il suo elemento generico.
$(AB)_{ji}=\sum_{s=1}^q A_{js}B_{si}$ dove:
Considerando a titolo d'esempio $m=2$ e $n=3$, i termini della terza riga $A_{ns}=A_{3s}$ che compaiono all'interno della somma non appartengono alla matrice $A$ perché non esiste nessuna terza riga in $A$ (essendo questa una matrice $m \times q = 2 \times q$. Di conseguenza è impossibile effettuare il prodotto matriciale $(AB)_{ji}$ coerentemente per come è stato definito.
Il problema risiede tra l'altro nella definizione secondo cui il prodotto di due matrici $A$ e $B$, rispettivamente di dimensioni $(m \times q )$ e $(q \times n)$ è una matrice $C=AB$ di dimensioni $(m \times n )$ il cui elemento $C_{ij}$ é:
$C_{ij}=\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$
(notare che non è sufficiente indicare solo la sommatoria, ma è importante affiancargli anche gli intervalli di variabilità degli indici). Come si evince, tale definizione descrive il comportamento dell'elemento generico $C_{ij}$, non della matrice $C$ a cui appartiene. Questa è un'osservazione fondamentale perché ogni volta che si vuole verificare un certo comportamento "complessivo" di una matrice e non dei suoi singoli elementi, non si può pretendere che le definizioni scritte sugli elementi siano equivalente alla descrizione "complessiva" di tale comportamento. Per verificarlo basta considerare la definizione di matrice trasposta:
Sia $C \in \mathbb{R}^{m \times n}$, si definisce matrice trasposta $C^{T}=(C)^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ la matrice di elementi: $C_{ji}^{T}=C_{ij}$ per $i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$
In pratica, per capirci, mentre è chiaro che una matrice è diversa dalla sua trasposta $C!=C^T$ ( infatti $C$ e $C^T$ hanno dimensioni invertite), si ha invece che $C_{ij}=C_{ji}^T$ per definizione, ovvero che l'elemento generico del prodotto di due matrici è proprio lo stesso del suo trasposto, ma a indici invertiti. Ritornando a questo thread si vuole verificare il comportamento $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ che può essere tradotto sugli elementi mediante le definizioni appena esposte in questo modo:
$C_{ji}^{T}=\sum_{s=1}^q B_{js}^{T}A_{si}^{T}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$.
essendo $C^{T}=(AB)^{T}$ di elementi $C_{ji}^T$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$. I passaggi per la dimostrazione sono praticamente gli stessi usati da Tipper ma con le precedenti considerazioni:
$C_{ji}^{T}=C_{ij}=\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj}=\sum_{s=1}^q B_{sj}A_{is}=\sum_{s=1}^q B_{js}^{T}A_{si}^{T}$ per $ i=1, 2, \ldots, m$ e $j=1, 2, \ldots, n$
Dove sono state usate in ordine la definizione (degli elementi) della matrice trasposta, la definizione di prodotto (degli elementi di) 2 matrici, proprietà commutativa di tale prodotto e ancora definizione (degli elementi) della matrice trasposta.
In consclusione la definizione nota di prodotto di due matrici $\sum_{s=1}^q A_{is}B_{sj} \ \ldots $ riguarda il calcolo dei suoi elementi, non della matrice di appartenenza e così anche la definizione di matrice trasposta $C_{ij}=C_{ji}^{T} \ \ldots $. Può sembrare una differenza sottile, ma $C$ è diverso da $C_{ij}$ perchè la prima denota una matrice ("raggruppamento" di elementi ordinati in righe e colonne) e la seconda il suo elemento generico.
CIa0 dinisauro, benvenut*;
credo che tu debba rileggere meglio l'intervento di Tipper ^_^ perché sicuramente avrai letto male!
credo che tu debba rileggere meglio l'intervento di Tipper ^_^ perché sicuramente avrai letto male!

Ciao j18eos, grazie per il benvenuto.
Rileggendo il commento di Tipper mi sono accorto solo ora che molto probabilmente Tipper ha semplicemente inavvertitamente invertito gli intervalli di variabilità di $i$ e $j$ all'inizio del suo commento. Infatti tutto torna se si inserisce nel suo commento:
$i=1, 2, \ldots, n$, $j=1, 2, \ldots, m$ al posto di $i=1, 2, \ldots, m$, $j=1, 2, \ldots, n$
Il papiro che ho scritto spero serva comunque a qualcuno per approfondimenti e chiarimenti ulteriori.
Rileggendo il commento di Tipper mi sono accorto solo ora che molto probabilmente Tipper ha semplicemente inavvertitamente invertito gli intervalli di variabilità di $i$ e $j$ all'inizio del suo commento. Infatti tutto torna se si inserisce nel suo commento:
$i=1, 2, \ldots, n$, $j=1, 2, \ldots, m$ al posto di $i=1, 2, \ldots, m$, $j=1, 2, \ldots, n$
Il papiro che ho scritto spero serva comunque a qualcuno per approfondimenti e chiarimenti ulteriori.
Sì, esatto: a un certo passaggio, causa trasposizione, Tipper ha invertito gli apici e i pedici.

Scusate, chiedo venia: me ne sono accorto tardi...

Tranquillo: meglio qui che all'esame!
