Calcolare base ker f della seguente applicazione lineare.
Salve. Non riesco a risolvere quest'esercizio:
\(\displaystyle f:R^4 → R^3, (x,y,z,t) → (x,y,0) \)
Devo calcolare la base del nucleo di quest'applicazione lineare senza usare le matrici. Purtroppo non riesco ad applicare la definizione di nucleo per risolvere tale esercizio.
Ovvero:
"se \(\displaystyle φ:V → W \) è un'applicazione lineare, allora l'insieme dei vettori \(\displaystyle v \) tali che \(\displaystyle φ(v)=0 \) è detto nucleo di \(\displaystyle φ \), e si denota con \(\displaystyle ker φ \)."
Potete darmi qualche dritta?
Ringrazio anticipatamente.
\(\displaystyle f:R^4 → R^3, (x,y,z,t) → (x,y,0) \)
Devo calcolare la base del nucleo di quest'applicazione lineare senza usare le matrici. Purtroppo non riesco ad applicare la definizione di nucleo per risolvere tale esercizio.
Ovvero:
"se \(\displaystyle φ:V → W \) è un'applicazione lineare, allora l'insieme dei vettori \(\displaystyle v \) tali che \(\displaystyle φ(v)=0 \) è detto nucleo di \(\displaystyle φ \), e si denota con \(\displaystyle ker φ \)."
Potete darmi qualche dritta?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
Devi trovare i vettori $x \in RR^4$ tali che $f(x) = 0$. In questo caso è molto evidente che, perché un vettore stia nel nucleo, questo dev'essere della forma $(0,0,z,t)$.
Per applicazioni lineari più complicate conviene scriversi la matrice $A$ associata ad $f$ e risolvere il sistema lineare omogeneo \[ A x = 0 \]
Per applicazioni lineari più complicate conviene scriversi la matrice $A$ associata ad $f$ e risolvere il sistema lineare omogeneo \[ A x = 0 \]
Mmm, aspetta un attimo, non mi è chiaro perché il vettore dev'essere scritto nella forma \(\displaystyle (0,0,z,t) \). 
Perché $f(x,y,z,t) = (x,y,0) = (0,0,0)$ se e solo se $x = y = 0$. Su $z$ e $t$ non hai condizioni.
Quindi, in questo caso, la base del nucleo \(\displaystyle ker f = (0,0,0) = insieme vuoto \) ?
No. Prendi ad esempio $ulu=(0,0,1,0)$ e $ulv=(0,0,0,1)$.
Viene $f(ulu)=(0,0,0)$ e $f(ulv)=(0,0,0)$.
Viene $f(ulu)=(0,0,0)$ e $f(ulv)=(0,0,0)$.
@Kurtis:
... questo proprio perché sulle ultime due componenti di un vettore che sta nel nucleo non hai alcuna condizione; l'importante è che le prime due siano entrambe $0$.
"Gi8":
No. Prendi ad esempio $ulu=(0,0,1,0)$ e $ulv=(0,0,0,1)$.
Viene $f(ulu)=(0,0,0)$ e $f(ulv)=(0,0,0)$.
... questo proprio perché sulle ultime due componenti di un vettore che sta nel nucleo non hai alcuna condizione; l'importante è che le prime due siano entrambe $0$.
Ok, quindi la dimensione della base del nucleo: \(\displaystyle dim B(ker f) = 2 \) in quanto \(\displaystyle z \) e \(\displaystyle t \) sono variabili libere?
Esatto.
Ok, chiaro, grazie! E se invece devo calcolare il nucleo di quest'altra applicazione lineare:
$f : RR^2 → RR^3$, \(\displaystyle (x,y) → (x,y,0) \)
La base di $ker f = ∅ $ ?
$f : RR^2 → RR^3$, \(\displaystyle (x,y) → (x,y,0) \)
La base di $ker f = ∅ $ ?
Più che l'insieme vuoto, \(\displaystyle \text{Ker}(f)=\left\{(0,0)\right\}\) (singoletto del vettor nullo).
Infatti \(\displaystyle (x,y) \in \text{Ker}(f) \Leftrightarrow f(x,y)=(0,0,0) \Leftrightarrow (x,y,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \biggl[x=0 \wedge y=0\biggr]\)
Infatti \(\displaystyle (x,y) \in \text{Ker}(f) \Leftrightarrow f(x,y)=(0,0,0) \Leftrightarrow (x,y,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \biggl[x=0 \wedge y=0\biggr]\)
Ok, grazie mille! 
Ciao, ho gli stessi identici esercizi tuttavia non ho capito bene come e quali siano le basi dei nuclei delle applicazioni lineari! :/
Sarebbe possibile fare una spiegazione più dettagliata di ogni singolo passaggio?
Grazie in anticipo
Sarebbe possibile fare una spiegazione più dettagliata di ogni singolo passaggio?
Grazie in anticipo
e se la soluzione fosse solo il vettore $v=(0,0)$? da quello che seneca e gi8 hanno scritto penso che l'unica soluzione sia il vettore nullo, quinid, $ker(f)= {0}$... no ?
EDIT: mi hanno anticipato
EDIT: mi hanno anticipato
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