Forme bilineari-ortonormalizzazione
Buongiorno a tutti,
Avrei questo esercizio da risolvere:Determinare per quali valori di $h in mathbb{R}$ la seguente forma bilineare su $mathbb{R^3}$
$ beta ((x_1,y_1,z_1) (x_2,y_2,z_2))=hx_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2+hy_1y_2+hz_1z_2$
è un prodotto scalare.Inoltre ortonormalizzare la base $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ rispetto a $beta$ quando $h=4$
Allora non dovrei avere problemi per quanto riguarda la definizione di prodotto scalare in quanto è un prodotto scalare se tutti gli autovalori sono positivi...ma ho difficoltà a determinare la matrice associata dalla forma bilineare e a ad ortonormalizzare
Sto preparando l'esame di Geometria ed ho ancora molti dubbi purtroppo
Avrei questo esercizio da risolvere:Determinare per quali valori di $h in mathbb{R}$ la seguente forma bilineare su $mathbb{R^3}$
$ beta ((x_1,y_1,z_1) (x_2,y_2,z_2))=hx_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2+hy_1y_2+hz_1z_2$
è un prodotto scalare.Inoltre ortonormalizzare la base $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ rispetto a $beta$ quando $h=4$
Allora non dovrei avere problemi per quanto riguarda la definizione di prodotto scalare in quanto è un prodotto scalare se tutti gli autovalori sono positivi...ma ho difficoltà a determinare la matrice associata dalla forma bilineare e a ad ortonormalizzare
Sto preparando l'esame di Geometria ed ho ancora molti dubbi purtroppo
Risposte
Scriviti la matrice di $beta$:
$beta= ((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))$
Ora dobbiamo far sì che il primo vettore abbia grandezza uno, quindi:
$(alpha , 0 , 0)$ $((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))((alpha),(0),(0))$
Da cui $alpha=1/2$.
Quindi il nostro primo vettore è $((1/2),(0),(0))$.
Il secondo vettore deve essere $beta$-ortogonale al primo e con grandezza uno, prima troviamo un'ortogonale:
$($ $1/2$ , $0$ , $0)$ $((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))((alpha),(beta),(0))=$ $(2$ , $1$ , $0)$ $((alpha),(beta),(0))=0$
Da cui ricaviamo $((1),(-2),(0))$ da normalizzare:
$(1$ , $-2$ , $0)$ $((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))((1),(-2),(0))=$$(0$ , $-6$ , $0)$ $((1),(-2),(0))=12$
Quindi dobbiamo dividere per la radice di 12 il vettore che abbiamo trovato:
$((1/sqrt(12)),(-2/sqrt(12)),(0))$
La terza si vede subito che è ortogonale alle due precedenti ma come la prima ha $beta$-modulo 4, quindi la nostra base sarà:
$<((1/2),(0),(0)),((1/sqrt(12)),(-2/sqrt(12)),(0)),((0),(0),(1/2))>$
$beta= ((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))$
Ora dobbiamo far sì che il primo vettore abbia grandezza uno, quindi:
$(alpha , 0 , 0)$ $((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))((alpha),(0),(0))$
Da cui $alpha=1/2$.
Quindi il nostro primo vettore è $((1/2),(0),(0))$.
Il secondo vettore deve essere $beta$-ortogonale al primo e con grandezza uno, prima troviamo un'ortogonale:
$($ $1/2$ , $0$ , $0)$ $((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))((alpha),(beta),(0))=$ $(2$ , $1$ , $0)$ $((alpha),(beta),(0))=0$
Da cui ricaviamo $((1),(-2),(0))$ da normalizzare:
$(1$ , $-2$ , $0)$ $((4,2,0),(2,4,0),(0,0,4))((1),(-2),(0))=$$(0$ , $-6$ , $0)$ $((1),(-2),(0))=12$
Quindi dobbiamo dividere per la radice di 12 il vettore che abbiamo trovato:
$((1/sqrt(12)),(-2/sqrt(12)),(0))$
La terza si vede subito che è ortogonale alle due precedenti ma come la prima ha $beta$-modulo 4, quindi la nostra base sarà:
$<((1/2),(0),(0)),((1/sqrt(12)),(-2/sqrt(12)),(0)),((0),(0),(1/2))>$
Scusa ma proprio non ho capito come hai fatto a determinare la matrice con quei valori?l'ultima riga di $beta$ non dovrebbe essere $(4,0,0)$ ?
Non direi, l'ultima riga è quella riferita alle z, quindi non essendoci "doppi prodotti" con le z, si limiterà ad essere nella diagonale principale. Spiegami come procederesti tu 
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