Vettori linearmente indipendenti, piccolo dubbio!
Salve ragazzi, ho avuto dei problemi a risolvere un banale esercizio sull indipendenza lineare al quale però non sono riuscito a trovare la soluzione! L esercizio mi dice: siano v = (1,2,0,0) e w = (3,1,0,1) vettori indipendenti in R^4. Determinare due vettori che uniti ai precedenti li completino ad una base di R^4.
Non riesco a capire come procedere, aiutatemi se potete
Non riesco a capire come procedere, aiutatemi se potete
Risposte
Ciao, affianchiamo i vettori e otteniamo la seguente matrice$$
\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&0\\0&1\end{pmatrix}
$$Procediamo con trasformazioni di riga$$
\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&0\\0&1\end{pmatrix} \rightarrow
\begin{pmatrix}1&3\\0&-5\\0&0\\0&1\end{pmatrix} \rightarrow
\begin{pmatrix}1&3\\0&-5\\0&0\\0&0\end{pmatrix}
$$A questo punto basta aggiungere due vettori con elementi non nulli al posto $3$ e $4$ per ottenere una matrice con rango $4$, cioè formata da vettori linearmente indipendenti. Quindi possiamo prendere $e_3, e_4$.
\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&0\\0&1\end{pmatrix}
$$Procediamo con trasformazioni di riga$$
\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&0\\0&1\end{pmatrix} \rightarrow
\begin{pmatrix}1&3\\0&-5\\0&0\\0&1\end{pmatrix} \rightarrow
\begin{pmatrix}1&3\\0&-5\\0&0\\0&0\end{pmatrix}
$$A questo punto basta aggiungere due vettori con elementi non nulli al posto $3$ e $4$ per ottenere una matrice con rango $4$, cioè formata da vettori linearmente indipendenti. Quindi possiamo prendere $e_3, e_4$.
Solo una cosa, quali sarebbero i posti 3 e 4?
Beh... \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}\) 
Quindi basta che sostituisco agli zeri in posizione 3 e 4 dei valori qualsiasi e ottengo gli altri due vettori della base?
Non so se tutti i vettori vadano bene, sicuramente $e_3, e_4$ sì perchè avendo tutti zeri sopra all'unico $1$ non vengono interessati dalle trasformazioni che facciamo sugli altri due vettori per portare la matrice in forma triangolare.
Vediamo se ho capito, i vettori (1,0,0,0) e (3,-5,0,0) sono quelli che insieme ai precedenti due mi danno una base di R^4? E in generale per trovare dei vettori linearmente indipendenti ad altri basta che metto i vettori conosciuti sotto matrice e, attraverso operazioni tra righe, porto la matrice in forma triangolare e trovo altri due vettori indipendenti a quei due? Non mi è ancora del tutto chiaro. Grazie per la pazienza :-[
La verifica con quei due vettori la puoi fare con poca fatica affiancandoli agli altri due e verificando se il rango della matrice è $4$ oppure no. 
Ok, claro! Grazie mille 
Prego. 
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