Dubbio Rouchè-Capelli

[gabry501]

Salve, nella dimostrazione di questo teorema nel mio libro (Paxia o Giuffrida-Ragusa) ho un dubbio in questo passaggio:

Supponiamo che il sistema AX=B sia possibile; allora esiste (a1,a2,...,an) tale che a1C1+..+anCn=B; sicchè B ∈ L(C1,...Cn)=W. Così un sistema di generatori di V, precisamente C1,...,Cn,B sta in W per cui V è sottoinsieme di W quindi V=W

Potreste spiegarmi? Come ipotesi ho appunto W=L(C1,...,Cn) e V=L(C1,...Cn,B)

[Seneca1]

Forse mi sfugge la tua domanda; cosa non ti è chiaro precisamente?

[gabry501]

Non capisco perché esistono questi (a1,...,an) e perché dopo che troviamo la combinazione a1C1..anCn, possiamo dire chr B appartiene all'altro insieme di generatori.

[Emar1]

Ho provato a dare un occhio ma sinceramente non si capisce molto. Riporta tutto l'enunciato del teorema con le ipotesi e specificando quali sono vettori e quali sono scalari.

Ti butto lì un suggerimento sperando ti possa aiutare.

Se il sistema è possibile, significa che \(\mathbf{b}\) appartiene allo spazio colonna di \(A\) e quindi \(\mathbf{b} \in col(A)\). Possiamo scrivere: \[\mathbf{b}\ = {\lambda}_1\mathbf{A_1} + {\lambda}_2\mathbf{A_2} + ... + {\lambda}_n\mathbf{A_n}\]dove \(\mathbf{A_i}\) è la \(i\)-esima colonna di \(A\) e \({\lambda}_i\) è uno scalare.