Cambio di base
Ciao a tutti! ho un problema con un tipo particolare di esercizi, in particolare il cambio di base. Vi riporto per esempio un esercizio d'esame:
Sia [tex](x; y)^T[/tex] un vettore rispetto alla base canonica di [tex]R^2[/tex]. Trovare le coordinate di [tex](x; y)^T[/tex] rispetto alla base [tex]B = \{f(1; 2)^T ; (2; 1)^T\}[/tex].
un'altra cosa che non ho capito, quell'elevazione di [tex]T[/tex] a cosa si riferisce? sul libro non viene detto (se non nelle matrici trasposte!)
Sia [tex](x; y)^T[/tex] un vettore rispetto alla base canonica di [tex]R^2[/tex]. Trovare le coordinate di [tex](x; y)^T[/tex] rispetto alla base [tex]B = \{f(1; 2)^T ; (2; 1)^T\}[/tex].
un'altra cosa che non ho capito, quell'elevazione di [tex]T[/tex] a cosa si riferisce? sul libro non viene detto (se non nelle matrici trasposte!)
Risposte
Non è un'elevamento alla $T$ ma proprio una trasposizione. Significa che quelli sono vettori colonna ma vengono scritti come righe per questioni di stampa. Quindi$$
\left(x, y\right)^{T} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
$$
\left(x, y\right)^{T} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
$$
Per quanto riguarda l'esercizio lo puoi risolvere in due modi: o costruisci la matrice di cambiamento di base $M$ e poi fai$$
v' = Mv
$$oppure dici direttamente che le coordinate del vettore $v = ((x), (y))$ rispetto alla nuova base sono $((\alpha), (\beta))$ con$$
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
$$che si interpreta poi come un sistema lineare.
v' = Mv
$$oppure dici direttamente che le coordinate del vettore $v = ((x), (y))$ rispetto alla nuova base sono $((\alpha), (\beta))$ con$$
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
$$che si interpreta poi come un sistema lineare.
ok XD grazie infinite; ma il cambio di base come lo effettuo? è questa la cosa princinpale che non ho capito XD, grazie in anticipo..
Per costruire la matrice di cambio di base da $\mathbb{C}$ a $\mathbb{B}$ puoi costruire quella da $\mathbb{B}$ a $\mathbb{C}$ che è immediata e poi invertirla, quindi$$
M^{C}_{B} = {M^{B}_{C}}^{-1} = \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}
$$
M^{C}_{B} = {M^{B}_{C}}^{-1} = \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}
$$
[tex]\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}[/tex]
una cosa, con questo sistema lineare poi come risolvo l'esercizio? dato che sono comunque 2 equazioni e 4 incognite, e per quanto riguarda la matrice di cambio di base come si usa?
non riesco a capire come trovarla e come applicarla per risolvere l'esercizio!
Nel primo metodo non sono $4$ incognite ma solo $2$ perchè $x, y$ sono da considerarsi note.
Nel secondo metodo quando hai la matrice hai praticamente finito, infatti abbiamo detto $v' = Mv$ cioè$$
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
$$
Nel secondo metodo quando hai la matrice hai praticamente finito, infatti abbiamo detto $v' = Mv$ cioè$$
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
$$
capito quindi facendo il prodotto tra le 2 matrici troverei il mio vettore giusto?
Esatto. 
perfetto!! ora finisco un paio di cose e poi riprovo a farne un paio! se ho dubbi mi ritroverai puntualmente qui 
grazie ancora!
grazie ancora!
Prego!
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