Mostrare che due basi sono concordi

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio.
Si consideri lo spazio vettoriale euclideo R3 con la base canonica B= (e1,e2,e3)

e1= (1,0,0)
e2=(0,1,0),
e3=(0,0,1)

Provare che esiste una base B' ortonormale concorde con la base B.

Ho determinato la base B' che è formata dai vettori
\( (1/(3\sqrt{2}),-1/(3 \sqrt2), 4/(3 \sqrt2)) \)
\( (1/ \sqrt2, 1/ \sqrt2,0) \)
\( (-2/3,2/3,1/3) \)

Ora per provare che le B' è concorde a B devo calcolare la matrice di passaggio dalla base B' a B? cioè quella che
ha sulle colonne le componenti dei vettori di B' rispetto a B? In tal caso sarebbe la matrice che ha per colonna
i vettori di B' no? E poichè ha determinante positivo la base è concorde... E' giusto?
Oppure devo vedere la matrice di passaggio da B a B' ?

[marco.bre]

"Marthy_92":C
Ora per provare che le B' è concorde a B devo calcolare la matrice di passaggio dalla base B' a B?
Oppure devo vedere la matrice di passaggio da B a B' ?

Due basi $bbE$ e $bbB$ sono concordemente orientate se la matrice del cambio di base ha determinante positivo, non ti devi preoccupare di ricordarti se usare la matrice del cambio di base in un verso o nell'altro
Infatti se $M_{bbB,bbE}$ è la matrice del cambiamento di base da $bbE$ a $bbB$ allora $M_{bbE,bbB}=M_{bbB,bbE}^{-1}$ da cui (per la formula di Binet) $det (M_{bbE,bbB})=1/{det(M_{bbB,bbE})}$ e quindi le due matrici hanno lo stesso segno

In altri termini, poichè l'orientazione concorde è una relazione di equivalenza (e quindi è simmetrica) non ha senso il tuo dubbio

[marthy_92]

ok grazie marco.bre in ogni caso.. la matrice di passaggio dalla base B' a B è uella che
ha sulle colonne le componenti dei vettori di B' rispetto a B? In tal caso sarebbe la matrice che ha per colonna
i vettori di B' no?

[marco.bre]

"Marthy_92":la matrice di passaggio dalla base B' a B è uella che
ha sulle colonne le componenti dei vettori di B' rispetto a B? In tal caso sarebbe la matrice che ha per colonna
i vettori di B' no?

Risposta monosillabica: sì

Anche io mi confondo sempre! per non sbagliare ricordati che la matrice del cambiamento di base da $bbB'$ a $bbB$ è la matrice associata all'identità rispetto a tali basi ovvero $M_{bbB,bbB'}(text{id})$ (non ti confondere: nella notazione che uso io si indica prima la base di arrivo poi quella di partenza) pertanto se $b'_j$ è il $j$-esimo vettore di $bbB'$ la $j$-esima colonna di tale matrice è
$text{coord}_{bbB}(text{id}(b'_j))=text{coord}_{bbB}(b'_j)=b'_j$

[marthy_92]

ooook grazie 1000 per l'aiuto