[RISOLTO]Determinare retta passante per P // piano e perpendicolare a una retta

[giupar93]

Buongiorno ragazzi, ho un problema.. devo determinare la retta in oggetto avendo $P=(0,1,0)$ una retta $ { ( x=t-1 ),( y=t ),( z=1 ):} $ e un piano $ alpha )2x-y+3z=0 $. Come faccio a determinare tale retta?

Io ho provato a risolvere nel seguente modo:

1. Mi trovo la direzione della perpendicolare al piano :

$[2,-1,3]$

mi trovo la direzione della retta s :

$[1,1,0]$

faccio il prodotto vettoriale: [2,-1,3] x [1,1,0] = [-3,3,3]

e la retta cercata sarà P+t[-3,3,3] = [-3t,1+3t,3t].
Fine. E' corretto? ve lo chiedo perché l'ho applicato al mio esercizio seguendo un esercizio guida.
Grazie 1000

[marco.bre]

Si è corretto.
Io però l'avrei impostato così

un vettore direzione della retta data è $v=(1,1,0)$

un vettore normale al piano è $n=(2,-1,3)$

se $w=(w_1,w_2,w_3)$ è un qualsiasi vettore direzione della retta cercata (chiamiamola $r$), allora devono valere

$w cdot n=0$ (perchè $r$ dev'essere parallela al piano)
$w cdot v=0$ (perchè $r$ dev'essere ortogonale alla retta)

le due condizioni danno un sistema di due equazioni in tre incognite che ammette $infinity^1$ soluzioni

[giupar93]

grazie per la conferma . Ho una domanda per quanto riguarda il tuo ragionamento... come risolvi $wn=0$ e $wv=0$ ??? ho provato a metterli a sistema...ma non trovo nessuna soluzione. Potresti per favore fare i passaggi? Grazie

[marco.bre]

$w cdot n=(w_1,w_2,w_3) cdot (2,-1,3)=2w_1-w_2+3w_3$
$w cdot n=(w_1,w_2,w_3) cdot (1,1,0)=w_1+w_2$

devi risolvere il sistema
${(2w_1-w_2+3w_3=0),(w_1+w_2=0):}$

le cui soluzioni sono date da ${(t,-t,-t) in bbbR^3: t in bbbR}$
va bene uno qualsiasi di questi vettori, ad esempio $(1,-1,-1)$

[giupar93]

ho capito...grazie mille !!!!