Definizione di incognita libera
Salve a tutti,
vorrei più una conferma sulla seguente definizione:
siano dati \( \Sigma \) un sistema lineare a \( x_1,x_2,...,x_n \) incognite e coefficienti in \( k\), ed \(\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir}\}\), ove \( i1,i2,...,ir \in \{1,2,...,n\} \), dicesi che \( \{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir} \}\) è l'insieme delle incognite libere di \( \Sigma \) se:
\( \forall(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir}) \in k^r( \exists ! (a_{j1},a_{j2},...,a_{j(n-r)}) \in k^{(n-r)}({j1},{j2},...,{j(n-r)} \in \{1,2,...,n\}-\{i1,i2,...,ir\} \wedge (a_1,a_2,...,a_{i1},a_{i2},...,a_{ir},...,a_n) \in sol(\Sigma))) \)
è corretta? Ringrazio anticipatamente!
Saluti
P.S.=Avrei anche due domande, "è vero che la def. di sopra si usa maggiormente per sistemi lineari indeterminati (ovvero a infinite soluzioni)? Quando si dice che un sistema lineare indeterminato ha \( \infty ^r \) soluzioni, quel \(r \) (con \( r= \mbox{ numero delle incognite del sistema } - rnk( \Sigma) \)) è proprio il numero delle incognite libere?..
vorrei più una conferma sulla seguente definizione:
siano dati \( \Sigma \) un sistema lineare a \( x_1,x_2,...,x_n \) incognite e coefficienti in \( k\), ed \(\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir}\}\), ove \( i1,i2,...,ir \in \{1,2,...,n\} \), dicesi che \( \{x_{i1},x_{i2},...,x_{ir} \}\) è l'insieme delle incognite libere di \( \Sigma \) se:
\( \forall(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir}) \in k^r( \exists ! (a_{j1},a_{j2},...,a_{j(n-r)}) \in k^{(n-r)}({j1},{j2},...,{j(n-r)} \in \{1,2,...,n\}-\{i1,i2,...,ir\} \wedge (a_1,a_2,...,a_{i1},a_{i2},...,a_{ir},...,a_n) \in sol(\Sigma))) \)
è corretta? Ringrazio anticipatamente!
Saluti
P.S.=Avrei anche due domande, "è vero che la def. di sopra si usa maggiormente per sistemi lineari indeterminati (ovvero a infinite soluzioni)? Quando si dice che un sistema lineare indeterminato ha \( \infty ^r \) soluzioni, quel \(r \) (con \( r= \mbox{ numero delle incognite del sistema } - rnk( \Sigma) \)) è proprio il numero delle incognite libere?..
Risposte
Quel $r$ è la dimensione del sottospazio vettoriale/affine di \( \mathbb{K}^n \) individuato dalle equazioni del sistema (numero univocamente determinato dal sistema, come pure il sottospazio) e viene a coincidere col numero di "incognite libere" (a volte, specie nel caso in cui la trattazione dei sistemi lineari preceda quella dei sottospazi affini, si parla di "gradi di libertà" in maniera più o meno intuitiva per poi formalizzare e rendere meno ambiguo il tutto a tempo debito). Mentre tale numero dipende dal sistema, la scelta di quali siano le $r$ "incognite libere" nell'espressione delle coordinate del generico vettore soddisfacente il sistema è del tutto arbitraria (di solito ci si accontenta della prima configurazione che viene fuori dal metodo risolutivo adottato). Dunque un tale insieme delle incognite libere non mi sembra ben definito, né definibile.
Una possibile definizione che fa uso della rappresentazione parametrica del sottospazio delle soluzioni credo possa essere: "Fissata una rappresentazione parametrica del sottospazio delle soluzioni di $\Sigma$, si dicono incognite libere le $r = n - rnk(\Sigma)$ incognite il cui valore è espresso nella forma $x_i = \lambda_i + c_i$ con $\lambda_i \in RR^*$, e $c_i \in RR$ fissato", oppure "Fissata una rappresentazione cartesiana del sottospazio delle soluzioni di $\Sigma$, si dicono incognite libere le $r = n - rnk(\Sigma)$ incognite che non compaiono esplicitamente nella rappresentazione" ma quest'ultima mi sembra meno elegante ed in entrambi i caso non sono del tutto certo che siano definizioni adeguate. Certamente bisogna mettere in evidenza che dipende dalla rappresentazione scelta, che è tutt'altro che univoca.
Una considerazione personale, il concetto di "incognita libera" data l'arbitrarietà del tutto mi sembra più un concetto introdotto per alleggerire la terminologia in un contesto discorsivo o comunque meno rigoroso di quello dell'esposizione/sistemazione matematica, dato che non mi sembra sia utile per alcun altra definizione/teorema né che goda di particolari proprietà (almeno non derivabili comunque da altre entità meglio definite), quindi credo che una sua definizione seppure possibile non sia molto utile da un punto di vista à la Bourbaki (mi si conceda il termine).
Una possibile definizione che fa uso della rappresentazione parametrica del sottospazio delle soluzioni credo possa essere: "Fissata una rappresentazione parametrica del sottospazio delle soluzioni di $\Sigma$, si dicono incognite libere le $r = n - rnk(\Sigma)$ incognite il cui valore è espresso nella forma $x_i = \lambda_i + c_i$ con $\lambda_i \in RR^*$, e $c_i \in RR$ fissato", oppure "Fissata una rappresentazione cartesiana del sottospazio delle soluzioni di $\Sigma$, si dicono incognite libere le $r = n - rnk(\Sigma)$ incognite che non compaiono esplicitamente nella rappresentazione" ma quest'ultima mi sembra meno elegante ed in entrambi i caso non sono del tutto certo che siano definizioni adeguate. Certamente bisogna mettere in evidenza che dipende dalla rappresentazione scelta, che è tutt'altro che univoca.
Una considerazione personale, il concetto di "incognita libera" data l'arbitrarietà del tutto mi sembra più un concetto introdotto per alleggerire la terminologia in un contesto discorsivo o comunque meno rigoroso di quello dell'esposizione/sistemazione matematica, dato che non mi sembra sia utile per alcun altra definizione/teorema né che goda di particolari proprietà (almeno non derivabili comunque da altre entità meglio definite), quindi credo che una sua definizione seppure possibile non sia molto utile da un punto di vista à la Bourbaki (mi si conceda il termine).
@Epimenide93,
cerco di rispondere..
nella def. \( r \) indica il numero delle incognite che scelgo tra \( x_1,x_2,...,x_n \) per poi definire quando sono libere quelle \( r \) incognite che ho scelto .... l'osservazione che ho fatto in P.S., a mio parere, mi da un criterio per calcolcare "quante" \( r \) incognite posso predere....
"Epimenide93":
Quel $r$ è la dimensione del sottospazio vettoriale/affine di \( \mathbb{K}^n \) individuato dalle equazioni del sistema (numero univocamente determinato dal sistema, come pure il sottospazio) e viene a coincidere col numero di "incognite libere" (a volte, specie nel caso in cui la trattazione dei sistemi lineari preceda quella dei sottospazi affini, si parla di "gradi di libertà" in maniera più o meno intuitiva per poi formalizzare e rendere meno ambiguo il tutto a tempo debito). Mentre tale numero dipende dal sistema, la scelta di quali siano le $r$ "incognite libere" nell'espressione delle coordinate del generico vettore soddisfacente il sistema è del tutto arbitraria (di solito ci si accontenta della prima configurazione che viene fuori dal metodo risolutivo adottato). Dunque un tale insieme delle incognite libere non mi sembra ben definito, né definibile.
Una possibile definizione che fa uso della rappresentazione parametrica del sottospazio delle soluzioni credo possa essere: "Fissata una rappresentazione parametrica del sottospazio delle soluzioni di $\Sigma$, si dicono incognite libere le $r = n - rnk(\Sigma)$ incognite il cui valore è espresso nella forma $x_i = \lambda_i + c_i$ con $\lambda_i \in RR^*$, e $c_i \in RR$ fissato", oppure "Fissata una rappresentazione cartesiana del sottospazio delle soluzioni di $\Sigma$, si dicono incognite libere le $r = n - rnk(\Sigma)$ incognite che non compaiono esplicitamente nella rappresentazione" ma quest'ultima mi sembra meno elegante ed in entrambi i caso non sono del tutto certo che siano definizioni adeguate. Certamente bisogna mettere in evidenza che dipende dalla rappresentazione scelta, che è tutt'altro che univoca.
Una considerazione personale, il concetto di "incognita libera" data l'arbitrarietà del tutto mi sembra più un concetto introdotto per alleggerire la terminologia in un contesto discorsivo o comunque meno rigoroso di quello dell'esposizione/sistemazione matematica, dato che non mi sembra sia utile per alcun altra definizione/teorema né che goda di particolari proprietà (almeno non derivabili comunque da altre entità meglio definite), quindi credo che una sua definizione seppure possibile non sia molto utile da un punto di vista à la Bourbaki (mi si conceda il termine).
cerco di rispondere..
nella def. \( r \) indica il numero delle incognite che scelgo tra \( x_1,x_2,...,x_n \) per poi definire quando sono libere quelle \( r \) incognite che ho scelto .... l'osservazione che ho fatto in P.S., a mio parere, mi da un criterio per calcolcare "quante" \( r \) incognite posso predere....
"garnak.olegovitc":
cerco di rispondere..
Ok, direi che avevo frainteso (e che non sono certo di aver capito neanche ora). Se prendi un numero qualsiasi di incognite $r \leq n-rnk(\Sigma)$ hai sempre un insieme di incognite che puoi considerare libere, se ne prendi esattamente $n-rnk(\Sigma)$ ne hai uno massimale (i.e. $n-rnk(\Sigma)$ è la cardinalità massima di un insieme siffatto). Mi sto perdendo qualcosa?
@Epimenide93,
Ok, direi che avevo frainteso (e che non sono certo di aver capito neanche ora). Se prendi un numero qualsiasi di incognite $r \leq n-rnk(\Sigma)$ hai sempre un insieme di incognite che puoi considerare libere, se ne prendi esattamente $n-rnk(\Sigma)$ ne hai uno massimale (i.e. $n-rnk(\Sigma)$ è la cardinalità massima di un insieme siffatto). Mi sto perdendo qualcosa?[/quote]
okok.. per quel poco di conoscenze che ho mi ritrovo, ma io volevo sapere se la def. così posta è corretta!
Thanks delle risposte cmq!
"Epimenide93":
[quote="garnak.olegovitc"]cerco di rispondere..
Ok, direi che avevo frainteso (e che non sono certo di aver capito neanche ora). Se prendi un numero qualsiasi di incognite $r \leq n-rnk(\Sigma)$ hai sempre un insieme di incognite che puoi considerare libere, se ne prendi esattamente $n-rnk(\Sigma)$ ne hai uno massimale (i.e. $n-rnk(\Sigma)$ è la cardinalità massima di un insieme siffatto). Mi sto perdendo qualcosa?[/quote]
okok.. per quel poco di conoscenze che ho mi ritrovo, ma io volevo sapere se la def. così posta è corretta!
Thanks delle risposte cmq!
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