Esercizio endomorfismo
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere tale esercizio e ho incontrato non poche difficoltà.
L'esercizio dice: in $ \mathbb{R}^3 $ siano dati i vettori u=(0,2,1), v=(2,-3,-1), w=(-4,1,-1).
Sia $ f: \mathbb{R}^3 -> \mathbb{R}^3 $ una funzione lineare tale f(u)=w, f(v)=-2w e $ Im(f) \subset Ker(f) $.
a) scrivere la matrice A di f rispetto alla base canonica e si determini una base del nucleo di f
b) si trovi una base di $ \mathbb{R}^3 $ rispetto alla quale la matrice di f sia B= \begin{pmatrix}
0& 0 &1 \\
0& 0 & 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}
c) si determini una matrice invertibile S tale che si abbia $ A=SBS^{-1}. $ Tale matrice S è unica?
d) si dica se esiste una matrice invertibile R tale che si abbia $ A=RCR^{-1} $ ove C è la matrice C= \begin{pmatrix}
0& 0 &1 \\
0& 1 & 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}
Allora innanzitutto per risolvere il punto a) so che 2f(u)+f(v)=f(2u+v)=0 quindi 2u+v appartiene al Ker(f) (giusto no?). Il punto è che non riesco a capire per risolvere l'esercizio come faccio a trovare f(w) e a cosa serve l'informazione $ Im(f) \subset Ker(f) $. Una volta che capisco come iniziarlo provo a pubblicare qui il resto dell'esercizio e vorrei sentire un parere vostro.
Grazie mille dell'attenzione
sto cercando di risolvere tale esercizio e ho incontrato non poche difficoltà.
L'esercizio dice: in $ \mathbb{R}^3 $ siano dati i vettori u=(0,2,1), v=(2,-3,-1), w=(-4,1,-1).
Sia $ f: \mathbb{R}^3 -> \mathbb{R}^3 $ una funzione lineare tale f(u)=w, f(v)=-2w e $ Im(f) \subset Ker(f) $.
a) scrivere la matrice A di f rispetto alla base canonica e si determini una base del nucleo di f
b) si trovi una base di $ \mathbb{R}^3 $ rispetto alla quale la matrice di f sia B= \begin{pmatrix}
0& 0 &1 \\
0& 0 & 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}
c) si determini una matrice invertibile S tale che si abbia $ A=SBS^{-1}. $ Tale matrice S è unica?
d) si dica se esiste una matrice invertibile R tale che si abbia $ A=RCR^{-1} $ ove C è la matrice C= \begin{pmatrix}
0& 0 &1 \\
0& 1 & 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}
Allora innanzitutto per risolvere il punto a) so che 2f(u)+f(v)=f(2u+v)=0 quindi 2u+v appartiene al Ker(f) (giusto no?). Il punto è che non riesco a capire per risolvere l'esercizio come faccio a trovare f(w) e a cosa serve l'informazione $ Im(f) \subset Ker(f) $. Una volta che capisco come iniziarlo provo a pubblicare qui il resto dell'esercizio e vorrei sentire un parere vostro.
Grazie mille dell'attenzione
Risposte
Potresti porre:
$f(w)=(0,0,0)$
ovvero:
$f(-4,1,-1)=(0,0,0)$
Infatti il vettore $w$ è l'immagine del vettore $u$ e come tale appartiene ad $Im(f)$. Ma per ipotesi
$Im(f)$ è contenuto in $Ker(f)$ e quindi anche $w$ appartiene a $Ker(f)$ e ciò significa appunto che :
$f(w)=(0,0,0)$
A questo punto hai che ;
\(\displaystyle \begin{cases}f(0,2,1)=(-4,1,-1)\\f(2,-3,-1)=(8,-2,2)\\f(-4,1,-1)=(0,0,0)\end{cases} \)
e questo determina la $f$ perché i 3 vettori $u,v,w$ sono linearmente indipendenti, come puoi verificare
facilmente. Se non ho fatto errori la matrice M associata ad $f$, rispetto alla base canonica, dovrebbe essere
la seguente ( tu controlla):
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}4&4&-12\\-1&-1&3\\1&1&-3\end{pmatrix} \)
$f(w)=(0,0,0)$
ovvero:
$f(-4,1,-1)=(0,0,0)$
Infatti il vettore $w$ è l'immagine del vettore $u$ e come tale appartiene ad $Im(f)$. Ma per ipotesi
$Im(f)$ è contenuto in $Ker(f)$ e quindi anche $w$ appartiene a $Ker(f)$ e ciò significa appunto che :
$f(w)=(0,0,0)$
A questo punto hai che ;
\(\displaystyle \begin{cases}f(0,2,1)=(-4,1,-1)\\f(2,-3,-1)=(8,-2,2)\\f(-4,1,-1)=(0,0,0)\end{cases} \)
e questo determina la $f$ perché i 3 vettori $u,v,w$ sono linearmente indipendenti, come puoi verificare
facilmente. Se non ho fatto errori la matrice M associata ad $f$, rispetto alla base canonica, dovrebbe essere
la seguente ( tu controlla):
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}4&4&-12\\-1&-1&3\\1&1&-3\end{pmatrix} \)
"ciromario":
Potresti porre:
$f(w)=(0,0,0)$
ovvero:
$f(-4,1,-1)=(0,0,0)$
Infatti il vettore $w$ è l'immagine del vettore $u$ e come tale appartiene ad $Im(f)$. Ma per ipotesi
$Im(f)$ è contenuto in $Ker(f)$ e quindi anche $w$ appartiene a $Ker(f)$ e ciò significa appunto che :
$f(w)=(0,0,0)$
A questo punto hai che ;
\(\displaystyle \begin{cases}f(0,2,1)=(-4,1,-1)\\f(2,-3,-1)=(8,-2,2)\\f(-4,1,-1)=(0,0,0)\end{cases} \)
e questo determina la $f$ perché i 3 vettori $u,v,w$ sono linearmente indipendenti, come puoi verificare
facilmente. Se non ho fatto errori la matrice M associata ad $f$, rispetto alla base canonica, dovrebbe essere
la seguente ( tu controlla):
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}4&4&-12\\-1&-1&3\\1&1&-3\end{pmatrix} \)
Ciao!
Innanzitutto grazie per la risposta.
Scusa ma ho un dubbio: perchè dici di porre f(w)=(0,0,0)? Cioè a me sembra più logico che 2f(u)+f(v)=0 e quindi 2u+v appartenga al ker(f).
Il fatto è che i vettori $u,v,2u+v$ non sono linearmente indipendenti ( il terzo è ovviamente combinazione lineare dei primi due ) e quindi non formano una base di $R^3$. Come è invece necessario per ottenere l'espressione analitica dell'endomorfismo richiesto.
Eccomi,
allora posto f(w)=0=0w devo trovare la matrice A, tramite f, rispetto alla base canonica. Allora so che AP=PD dove
P=\begin{pmatrix}
0 & 2 & -4\\
2 & -3 & 1\\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
Ora so che la matrice D rappresenta, nelle colonne, le componenti di f rispetto all'immagine, quindi dovrebbe essere:
D=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & -2 & 0
\end{pmatrix}
dato che f(u)=w, f(v)=-2w e f(w)=0w. E' corretto?
Grazie per l'attenzione
allora posto f(w)=0=0w devo trovare la matrice A, tramite f, rispetto alla base canonica. Allora so che AP=PD dove
P=\begin{pmatrix}
0 & 2 & -4\\
2 & -3 & 1\\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
Ora so che la matrice D rappresenta, nelle colonne, le componenti di f rispetto all'immagine, quindi dovrebbe essere:
D=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & -2 & 0
\end{pmatrix}
dato che f(u)=w, f(v)=-2w e f(w)=0w. E' corretto?
Grazie per l'attenzione
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