Righe linearmente dipendenti di una matrice
Salve Ragazzi. Sto avendo alcuni problemi. Sono arrivato alla parte di programma che riguarda la dipendenza/indipendenza lineare di geometria analitica. Senza aver prima introdotto ne il concetto di rango ne di rouchè-capelli..io gli esercizi sono solito svolgerli tramite la relazione V3= a1V1+a2V2 dove per ricavare il valore di a1 e a2 utilizzo i sistemi di due o tre equazioni in due/tre incognite. così verifico l'eventuale dipendenza o meno. Adesso ci sono due esercizi che non riesco proprio a capire:
1) Studiare la dipendeza/indipendenza lineare dei veguenti vettori di R^2:
v1=(2,1) v2=(1,-1) v3=(4,2). In questo caso il metodo che utilizzo è passare ad un sistema del genere:
2a1 + a2 + 4a3 =0
a1 -a2 + 2a3=0
per poi trovarmi i valori di a1 a2 a3. Il problema ora però è che ho tre incognite in due equazioni e quindi non penso di poter parrare alla t per ricavarmi questi tre valori..non saprei. Vorrei una spiegazione a tutto ciò di modo tale che il prof dovesse chiedermelo saprei perchè i vettori sono linearmente indipendenti o meno.
2) Siano A e B le matrici A:( 123 sulla prima riga,046 sulla seconda) B:(011 sulla prima riga, 2 0 -3 sulla seconda,2 3 0 sulla terza)
A=\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
0 & 4 & 6 \\
\end{array}
\right)
\]
B= \[
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
2 & 0 & -3 \\
2 & 3 & 0
\end{array}
\right)
\]
Mi chiede di verificare se le righe di A sono linearmente indipendenti. Le colonne di A sono linearmente indipendenti e lo stesso per la matrice B. Questo per me è un nuovo problema perchè non sò come procedere: posso passare al sistema lineare mettendo a sistema le due righe della matrice e ricavarmi a1 a2 a3?Però otterrei un sistema di due equazioni in tre incognite nuovamente. E lo stesso problema ottengo per le colonne di A. Help me!!
Premetto che ho imparato solo a ridurre le matrici tramite gauss-jordan fin ora e prima di questo esercizio il mio libro di testo non ha introdotto nient'altro su come calcolare rango o altri metodi per risolvere questi quesiti. Sono arrivato in teoria solo a dire che un insieme è legato se e solo se v1= vettore nullo e un insieme di due vettori è legato se e solo se i due vettori sono proporzionali. Grazie in anticipo per chi sarà così gentile da occuparsi di questo fardello e aiutarmi
1) Studiare la dipendeza/indipendenza lineare dei veguenti vettori di R^2:
v1=(2,1) v2=(1,-1) v3=(4,2). In questo caso il metodo che utilizzo è passare ad un sistema del genere:
2a1 + a2 + 4a3 =0
a1 -a2 + 2a3=0
per poi trovarmi i valori di a1 a2 a3. Il problema ora però è che ho tre incognite in due equazioni e quindi non penso di poter parrare alla t per ricavarmi questi tre valori..non saprei. Vorrei una spiegazione a tutto ciò di modo tale che il prof dovesse chiedermelo saprei perchè i vettori sono linearmente indipendenti o meno.
2) Siano A e B le matrici A:( 123 sulla prima riga,046 sulla seconda) B:(011 sulla prima riga, 2 0 -3 sulla seconda,2 3 0 sulla terza)
A=\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
0 & 4 & 6 \\
\end{array}
\right)
\]
B= \[
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
2 & 0 & -3 \\
2 & 3 & 0
\end{array}
\right)
\]
Mi chiede di verificare se le righe di A sono linearmente indipendenti. Le colonne di A sono linearmente indipendenti e lo stesso per la matrice B. Questo per me è un nuovo problema perchè non sò come procedere: posso passare al sistema lineare mettendo a sistema le due righe della matrice e ricavarmi a1 a2 a3?Però otterrei un sistema di due equazioni in tre incognite nuovamente. E lo stesso problema ottengo per le colonne di A. Help me!!
Premetto che ho imparato solo a ridurre le matrici tramite gauss-jordan fin ora e prima di questo esercizio il mio libro di testo non ha introdotto nient'altro su come calcolare rango o altri metodi per risolvere questi quesiti. Sono arrivato in teoria solo a dire che un insieme è legato se e solo se v1= vettore nullo e un insieme di due vettori è legato se e solo se i due vettori sono proporzionali. Grazie in anticipo per chi sarà così gentile da occuparsi di questo fardello e aiutarmi
Risposte
Per l'esercizio 1 ti conviene ridurre per righe la matrice associata ai tre vettori e vedere se tutte e tre le righe(ovvero i vettori) sono non nulle. Così a occhio v1 e v2 sono lin.indipendenti mentre v3 è una chiara c.l. di v1;comunque:
$((2,1),(1,-1),(4,2))$ $->$ ($R2\leftarrowR2-1/2R1$ , $R3\leftarrowR3-R1$)
ottieni la matrice ridotta"a scalini":
$((2,1),(0,-3/2),(0,0))$
Il che significa che $v3=c.l.(v2, v1)$
$((2,1),(1,-1),(4,2))$ $->$ ($R2\leftarrowR2-1/2R1$ , $R3\leftarrowR3-R1$)
ottieni la matrice ridotta"a scalini":
$((2,1),(0,-3/2),(0,0))$
Il che significa che $v3=c.l.(v2, v1)$
ti ringrazio il primo esercizio è andato, l'ho capito. Avevo solo un altro dubbio..secondo te vi è combinazione lineare di v2 e v3? io mi trovo di si. Ma per il secondo esercizio sapresti darmi una mano??Cmq grazie mille
Se v3 è già combinazione lineare non ti serve sapere se v3 è anche linearmente dipendente da v2;
per definizione infatti tu hai una Base di uno spazio vettoriale se hai un insieme finito, libero e ordintao di vettori tutti fra di loro linearmente indipendenti.
Questo significa che v1,v2,v3 non formano una base di $RR$$^3$.
Per il secondo esercizio non ho capito bene come sono le matrici A e B, puoi scriverle con Mathjax?
per definizione infatti tu hai una Base di uno spazio vettoriale se hai un insieme finito, libero e ordintao di vettori tutti fra di loro linearmente indipendenti.
Questo significa che v1,v2,v3 non formano una base di $RR$$^3$.
Per il secondo esercizio non ho capito bene come sono le matrici A e B, puoi scriverle con Mathjax?
ho fatto e ho aggiustato le matrici Cmq grazie ancora sei gentilissimo mi stai aiutando a risolvere molti problemi
Cmq grazie ancora sei gentilissimo mi stai aiutando a risolvere molti problemi
Prego figurati,comunque la matrice A è già ridotta(ricorda che ridurre una matrice a scalini,per riga o per colonna, devi fare alcune operazioni elementari fra le varie righe,o colonne, fino a ricondurti ad una matrice triangolare, superiore o inferiore non ha molta importanza) quindi dobbiamo solo ridurre la matrice B in questo modo:
$((0,1,1),(2,0,-3),(2,3,0))$ $\rightarrow$ , $R1\leftrightarrowR2$ , $\rightarrow$ $((2,0,-3),(0,1,1),(2,3,0))$
$\rightarrow$ , $R3\leftarrowR3-R1$, $\rightarrow$ $((2,0,-3),(0,1,1),(0,3,3))$ $\rightarrow$ , $R3\leftarrowR3-R2$ ,
$\rightarrow$ , $((2,0,-3),(0,1,1),(0,0,0))$
Matrice ridotta
$((0,1,1),(2,0,-3),(2,3,0))$ $\rightarrow$ , $R1\leftrightarrowR2$ , $\rightarrow$ $((2,0,-3),(0,1,1),(2,3,0))$
$\rightarrow$ , $R3\leftarrowR3-R1$, $\rightarrow$ $((2,0,-3),(0,1,1),(0,3,3))$ $\rightarrow$ , $R3\leftarrowR3-R2$ ,
$\rightarrow$ , $((2,0,-3),(0,1,1),(0,0,0))$
Matrice ridotta
scusate, sono nuovo e questa è la mia prima domanda/dubbio.
Il det A=0 rappresenta il rango massimo della matrice?
Il det A=0 rappresenta il rango massimo della matrice?
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