Conoscendo gli autovalori e le equazioni cartesiane degli autospazi determinare il polinomio caratteristico
Buongiorno, vi chiedo un parere sullo svolgimento del seguente esercizio:
Sia A una matrice 4x4 e \(\displaystyle X=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
t
\end{pmatrix} \) un generico vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^{4} \). Supponendo di sapere che gli autovalori di A sono 5 e -2, e che l'autospazio \(\displaystyle V_{5} \) ha equazione \(\displaystyle x+y+z=x-y+z+t=z-t=0 \), mentre l'autospazio \(\displaystyle V_{-2} \) ha equazione \(\displaystyle x+2y=0 \), si determini il polinomio caratteristico di A.
Ecco il mio procedimento:
le equazioni cartesiane dei due autospazi mi suggeriscono \(\displaystyle dimV_{5}=3 \), \(\displaystyle dimV_{-2}=1 \) e quindi, ipotizzando che la matrice A sia diagonalizzabile, ottengo \(\displaystyle p_{A}(t)=(5-t)^{3}(-2-t) \).
Non essendo in possesso del risultato dell'esercizio non so se il mio, di risultato, sia giusto o sbagliato. Potreste darmi la vostra opinione a riguardo?
Sia A una matrice 4x4 e \(\displaystyle X=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
t
\end{pmatrix} \) un generico vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^{4} \). Supponendo di sapere che gli autovalori di A sono 5 e -2, e che l'autospazio \(\displaystyle V_{5} \) ha equazione \(\displaystyle x+y+z=x-y+z+t=z-t=0 \), mentre l'autospazio \(\displaystyle V_{-2} \) ha equazione \(\displaystyle x+2y=0 \), si determini il polinomio caratteristico di A.
Ecco il mio procedimento:
le equazioni cartesiane dei due autospazi mi suggeriscono \(\displaystyle dimV_{5}=3 \), \(\displaystyle dimV_{-2}=1 \) e quindi, ipotizzando che la matrice A sia diagonalizzabile, ottengo \(\displaystyle p_{A}(t)=(5-t)^{3}(-2-t) \).
Non essendo in possesso del risultato dell'esercizio non so se il mio, di risultato, sia giusto o sbagliato. Potreste darmi la vostra opinione a riguardo?
Risposte
Direi che è l'inverso :
$dimV_5=1, dimV_{-2}=3$
$dimV_5=1, dimV_{-2}=3$
Buongiorno,
secondo me il procedimento è sbagliato perché hai calcolato $dimV_5=3$ e $dimV_-2=1$. Infatti per calcolare le dimensioni di un sottospazio vettoriale dato un sistema di equazioni si procede in questo modo:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x-y+z+t=0\\z-t=0\end{array}\right.\end{equation*}
Dall' ultima equazione si ricava che z=t e sostituendo nelle altre equazioni abbiamo:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x+y+t=0\\ x-y+2t=0\\z=t\end{array}\right.\end{equation*}
Quindi, dalla seconda equazione del sistema abbiamo: x=y-2t, e mettendo questo risultato nella prima equazione:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}y-2t+y+t=0\\ x=y-2t\\z=t\end{array}\right.\end{equation*}
Dalla prima equazione abbiamo che $y=1/2t$, quindi la seconda diventa $x=-3/2t$ e sostituendo la variabile t con un parametro k si ottiene:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x=-3k/2\\ y=k/2\\z=k\\t=k\end{array}\right.\end{equation*}
Quindi la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 5 è 1, perché può essere espresso al variare di un solo parametro.
Lo stesso ragionamento si può applicare per calcolare la dimensione dell'autospazio relativo a -2, infatti le equazioni che lo descrivono risultano essere:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x=-2s\\ y=s\\z=u\\t=h\end{array}\right.\end{equation*}
Dove s, h ed u sono dei parametri, ed essendo 3 la dimensione dell'autospazio relativo a -2 ha dimensione 3.
secondo me il procedimento è sbagliato perché hai calcolato $dimV_5=3$ e $dimV_-2=1$. Infatti per calcolare le dimensioni di un sottospazio vettoriale dato un sistema di equazioni si procede in questo modo:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x-y+z+t=0\\z-t=0\end{array}\right.\end{equation*}
Dall' ultima equazione si ricava che z=t e sostituendo nelle altre equazioni abbiamo:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x+y+t=0\\ x-y+2t=0\\z=t\end{array}\right.\end{equation*}
Quindi, dalla seconda equazione del sistema abbiamo: x=y-2t, e mettendo questo risultato nella prima equazione:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}y-2t+y+t=0\\ x=y-2t\\z=t\end{array}\right.\end{equation*}
Dalla prima equazione abbiamo che $y=1/2t$, quindi la seconda diventa $x=-3/2t$ e sostituendo la variabile t con un parametro k si ottiene:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x=-3k/2\\ y=k/2\\z=k\\t=k\end{array}\right.\end{equation*}
Quindi la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 5 è 1, perché può essere espresso al variare di un solo parametro.
Lo stesso ragionamento si può applicare per calcolare la dimensione dell'autospazio relativo a -2, infatti le equazioni che lo descrivono risultano essere:
\begin{equation*}\left\{\begin{array}{l}x=-2s\\ y=s\\z=u\\t=h\end{array}\right.\end{equation*}
Dove s, h ed u sono dei parametri, ed essendo 3 la dimensione dell'autospazio relativo a -2 ha dimensione 3.
Un altro appunto: non esprimere il polinomio caratteristico in funzione di t, perché t è una delle coordinate che descrivono il sistema. Quando facevo algebra lineare ero solito usare $\lambda$ come variabile per $p_A(\lambda)$.
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