Calcolo immagine!
Ciao ragazzi, mi rimaneva un ultimo dubbio nel calcolo dell' immagine! 
se prendo per esempio la funzione $ f (e1) =3e1-3e2 ; f (e2) = 2e1-2e2 $ la matrice associata viene $ ( (3,2) , (-3,-2) ) $ ridotta con Gauss viene $ ( (3,2) , (0,0) ) $ (qui arriva il problema) per prendere una base per l immagine devo prendere $ ( (3) , (0) ) $ o $ ( (3), (2) ) $ ?
Se invece prendo questa funzione
$ f (x, y, z,t)= (2x-t , 3y-x+2z-t) $ la matrice associata viene $ ( (2,0,0,1) , (-1,3,2,-1) ) $ ridotta a gauss viene $ ( (2,0,0,-1) , (0,6,4,-3) ) $. Qua invece come base per l immagine devo prendere $ im=span ( (2) , (0) , (0) , (-1) ) ; ( (0) , (6) , (4) , (-3) ) $ ?
Grazie!
se prendo per esempio la funzione $ f (e1) =3e1-3e2 ; f (e2) = 2e1-2e2 $ la matrice associata viene $ ( (3,2) , (-3,-2) ) $ ridotta con Gauss viene $ ( (3,2) , (0,0) ) $ (qui arriva il problema) per prendere una base per l immagine devo prendere $ ( (3) , (0) ) $ o $ ( (3), (2) ) $ ?
Se invece prendo questa funzione
$ f (x, y, z,t)= (2x-t , 3y-x+2z-t) $ la matrice associata viene $ ( (2,0,0,1) , (-1,3,2,-1) ) $ ridotta a gauss viene $ ( (2,0,0,-1) , (0,6,4,-3) ) $. Qua invece come base per l immagine devo prendere $ im=span ( (2) , (0) , (0) , (-1) ) ; ( (0) , (6) , (4) , (-3) ) $ ?
Grazie!
Risposte
Non devi procedere per righe, ma sempre per colonne! Quindi nel primo caso l'immagine è semplicemente lo span di \(\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}\) che, se ci pensi, è lo stesso di \(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\). Nel secondo... vedi tu! Comunque la regola ti dice che devi prendere le colonne linearmente indipendenti, quindi... 
Attenzione: ho corretto il mio post precedente perché avevo sbagliato a scrivere una cosa. Ora è a posto... almeno dovrebbe! 
Quindi bisogna prendere i vettori precedenti alla riduzione di Gauss come base dell'immagine? Se prendevo la colonna dopo la riduzione era sbagliato $ [ [3] , [0] ] $ ?
Nel secondo caso ho messo il tutto in righe perche mi diceva che l applicazione era da $ RR4-> RR^2 $ , quindi una base per questa sarebbe $ ( (2,0,0,1) , (-1,3,2,-1) ) $ scritto in righe! Va bene cosi?
Nel secondo caso ho messo il tutto in righe perche mi diceva che l applicazione era da $ RR4-> RR^2 $ , quindi una base per questa sarebbe $ ( (2,0,0,1) , (-1,3,2,-1) ) $ scritto in righe! Va bene cosi?
Sì, prendere la colonna dopo la riduzione è sbagliato. Anche perché così stai dicendo che la seconda componente deve essere sempre nulla, mentre in realtà non è così: deve essere sempre uguale alla prima ma con il segno opposto.
Per quanto riguarda la seconda, in realtà è molto semplice: lo spazio di arrivo è $RR^2$, quindi la dimensione dell'immagine è sicuramente $<= 2$. A questo punto, ad esempio con la riduzione di Gauss, puoi concludere che le prime due colonne solo linearmente indipendenti. Bene: ti puoi fermare qui. Una base dell'immagine è data proprio dalle prime due colonne.
Per quanto riguarda la seconda, in realtà è molto semplice: lo spazio di arrivo è $RR^2$, quindi la dimensione dell'immagine è sicuramente $<= 2$. A questo punto, ad esempio con la riduzione di Gauss, puoi concludere che le prime due colonne solo linearmente indipendenti. Bene: ti puoi fermare qui. Una base dell'immagine è data proprio dalle prime due colonne.
Quindi nel secondo caso una base per l'immagine può essere $ ( (2) , (-1) ) ; ( (0) , (3) ) $
Esatto, quella è una possibile base. Ma c'è n'è una più semplice! Dato che quei due vettori sono linearmente indipendenti, il loro span è rappresentato da tutto $RR^2$. Quindi una base per l'immagine è semplicemente la base canonica di $RR^2$:
$ [ [1] , [0] ], [ [0] , [1] ] $.
$ [ [1] , [0] ], [ [0] , [1] ] $.
Grazie per i chiarimenti!!! Mi sa che avevo sempre sbagliato io allora, nei casi come il secondo quando mettevo i valori in riga prendevo direttamente le 2 righe, mentre da come ho capito vanno prese SEMPRE le colonne
Esatto. Non a caso, che cosa sono le colonne? Sono le immagini dei vettori della base secondo l'applicazione! Quindi come vedi "hanno a che fare con l'immagine".
Però ne devo prendere 2 linearmente indipendenti, giusto? Ho appema svolto un'altro esercizio e la matrice è $ ( (-1,1,-1) , (0,0,1) , (1,-1,0) ) $ qui ho preso la prima e terza colonna, dato che le altre 2 erano linearmente indipendenti e per questo non formano una base!
Esatto, in questo caso l'immagine della funzione ha dimensione pari a $2$ e una sua base è data dalla prima e dalla terza colonna.
Grazie per l' aiuto!
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